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- 回答日時:
斜面なら下向きの力は一定ですが、円形だと角度とともに変わりますね。
時々刻々の位置や速度を解析的に求めてもよいのですが、それは高校物理の範囲では無理なので、ここでは「エネルギー保存」を使って、高さの差による位置エネルギーが運動エネルギーに変わるものとして速度を求めます。
つまり、Bの位置と動き始めのAの高さの差
h = r - r*cos(θ0)
より
(1/2)mv^2 = mgh
の関係から
v^2 = 2gh = 2gr[ 1 - cos(θ0) ]
→ v = √{2gr[ 1 - cos(θ0) ]} ①
一方、小球が円筒を離れるのは、垂直抗力がゼロとなる、つまり①の周速度による「遠心力」が「重力の円筒中心向きの成分」よりも大きくなる点です。
遠心力は
mv^2 /r
重力の円筒中心向きの成分は
mg*cos(θ0)
ですから、
mv^2 /r ≧ mg*cos(θ0)
だと小球は円筒を離れます。これは、①を使うと
2mgr[ 1 - cos(θ0) ]/r ≧ mg*cos(θ0)
→ 2[ 1 - cos(θ0) ] ≧ cos(θ0)
→ 2/3 ≧ cos(θ0)
離れる瞬間は
cos(θ0) = 2/3
です。
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