球面のリーマン計量

球面のリーマン計量を教えてください。平面では

1 0
0 1

というテンソルであることは知っています。球面ではどういう表式になるのでしょうか。
それが出ているURLを教えていただくのでも構いません。自分でも探したのですが
見つかりませんでした。

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/02 08:37

計量は局所座標系のとり方によってどうとでもなりますが

極座標でrを固定して球面を表現すると
緯度、経度(ラジアン)に対する計量は

×=r(cosθcosψ、sinθcosψ、sinψ)

θ(=q1):経度 ψ(=q2):緯度

とすると
g11=∂x／∂θ・∂x／∂θ=r^2(cosψ)^2
g12=x／∂θ・∂x／∂ψ=O
g21=x／∂ψ・∂x／∂θ=O
g22=x／∂ψ・∂x／∂ψ=r^2

つまり経度方向の計量は緯度が高くなると
縮小してゆくという形になります。

この回答へのお礼

よく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2014/07/02 11:27