複素数の極形式

複素数の極形式を使用する下記問題の解説について、わからない点があるのでご教授ください。
解説の③式はどのようにして導かれるのでしょうか？
参考元:公務員試験 技術系スーパー過去問ゼミ 工学に関する基礎

〈問題〉
方程式 z^4=-8+8i√(3) の4つの解 z(k)=a(k)+b(k)i(k=1,2,3,4) を、座標平面上に点P(k)[a(k),b(k)]として表した時、四角形P1P2P3P4の面積はいくらか。
ただし、a(k),b(k)は実数とする。

〈解説〉
z^4=-8+8i√(3)…①
①の解 z(k)=a(k)+b(k)i を極形式で表す。
z(k)=r[cosθ(k)+isinθ(k)]…②
①より、z^4=16(cos2π/3+isin2π/3)
②より、z(k)^4=r^4[cos4θ(k)+isin4θ(k)]
よって、
r^4=16
4θ(k)=2π/3+2(k-1)π…③
…以下は省略。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/24 17:31

16(cos2π/3+isin2π/3) = r^4[cos4θ(k)+isin4θ(k)] から角度を比較している.

この回答へのお礼

Tacosanさん
理解できました。
2π/3=2π/3、2π/3+2π、2π/3+4π、2π/3+6πとなるので、
2π/3+2(k-1)πで表れているのですね。
以前質問に答えて頂いた事と、今回お早い回答を頂き、有難うございました。

お礼日時：2018/05/24 18:21

No.2 回答者： diff3356 回答日時： 2018/05/24 18:06

z^4=16*e^{((2/3)pi+2npi)*i}

ですから、z=2*e^{pi*i/6+(n/2)pi*i}, i=0~3
この４つの解はＯ中心、半径２の円周上に等間隔で並んでいるから、問題の面積Ｓは
S=(2√2)^2=8.
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※結果だけを答える問題であれば、「解が円周上に等間隔に並ぶこと」より即答が可能す。

この回答へのお礼

補足も含めたご説明を有難うございました。

お礼日時：2018/05/24 18:23