図の回転の問題がとけません。(正答は5です。) タイヤの離脱前の運動エネルギー＝ 脱落後のタイヤの回

図の回転の問題がとけません。(正答は5です。)
タイヤの離脱前の運動エネルギー＝ 脱落後のタイヤの回転エネルギーで保存式を立てようとしたのですが、慣性モーメントがわからずどうすればいいのでしょうか。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/26 10:29

脱落した車輪の回転は無視できます。

半径Rの円周を速度ｖで回転する場合の遠心力は車輪の質量をｍとすると
ｍｖ²/Rです。これと車輪の傾きで生じた半径Rの円周を向いた力で釣り合っています。
その力はｍｇ/tanθです。
ｍｖ²/R＝ｍｇ/tanθからtanθ＝ｇR/ｖ²になります。
答えは４．です。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/26 11:31

この問題では、#1 さんのように「半径Rの円周を速度ｖで回転する」とするのは間違いです。

これは、自動車から離れたときに持っていた並進の運動エネルギーが、タイヤ重心の並進運動とタイヤの回転運動のエネルギーに分かれます。

まず、タイヤが自動車から離れたときに持っていた並進の運動エネルギーは、
　E0 = (1/2)mv^2
です。

これが、並進+回転運動になるので、角速度を ω とすれば、タイヤの重心の速度は rω なので、その並進運動のエネルギーは
　Eg = (1/2)m(rω)^2

質量 m の円環の慣性モーメントは mr^2 (質量 m の質点と同じ）ですから、回転運動のエネルギーは
　Er = (1/2)Iω^2 = (1/2)m(rω)^2

つまり 1/2 ずつになるということですね。

エネルギー保存則より
　E0 = Eg + Er
なので
　rω = v/√2
となります。

この角速度 rω が半径Rの円周上の周速度になるので、半径Rの円運動の角速度 ω2 は
　R*ω2 = rω = v/√2
より、その遠心力は
　Fc = mR(ω2)^2 = m(v/√2)^2 /R = mv^2 /(2R)
になります。

この遠心力と重力 mg とのつり合いの角度が θ なので、図の θ のとり方からすれば
　tanθ = mg/Fc = 2gR/v^2
となります。

選択肢の中では「5」です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。重心の並進運動＋回転運動に分解される理屈はわかったのですが、だとするとタイヤは「回転しつつも、滑りながら円運動する」ことになると思います。そうすると問題文の2行目の記述で「水平な地面を滑らずに転がりはじめた」と矛盾しているようの思えてしまうのですが、どう理解すればいいのでしょうか？

お礼日時：2018/05/27 08:03

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/26 18:30

大変失礼いたしました。

私の禿げ頭に免じてお許しください。
では、５択なので消去法で行います。（正確な値が求めたいのなら№２の方のをご覧ください）
脱落した車輪の回転は無視せずにすると。半径Rの円周を速度ｖ’（ｖ’＜ｖ）で回転する場合の遠心力は車輪の質量をｍとすると
ｍｖ’²/Rです。これと車輪の傾きで生じた半径Rの円周を向いた力で釣り合っています。
その力はｍｇ/tanθです。
ｍｖ’²/R＝ｍｇ/tanθからtanθ＝ｇR/ｖ’²になります。tanθ＝ｇR/ｖ’²＞ｇR/ｖ²この形は任意の速度ｖ’（ｖ’＜ｖ）で成り立ちます。
分母に速度の2乗と分子にRのあるのは、
１、は×
２、は×
３、は×
４、は○（ただしtanθ＝ｇR/ｖ²の場合、ｇR/ｖ’²＞ｇR/ｖ²なので４、より大きい値）
５、は○（４、より大きい値）
よって答えは５、

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/27 09:46

No.2 です。

＞だとするとタイヤは「回転しつつも、滑りながら円運動する」ことになると思います。

どうしてそのように考えますか？
タイヤを転がしたらどうなるかを考えてみてください。

問題文にも「水平な地面を滑らずに転がり始めた」とあるではありませんか。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/27 13:30

No.4 です。

ひょっとして

＞これが、並進+回転運動になるので、角速度を ω とすれば、タイヤの重心の速度は rω なので、

を見て「すべっている」と判断されたのですか？

タイヤが角速度 ω で回転すれば、その周速度は
　v = rω
になります。
この「地面との接点」が「摩擦によってすべらない」ので、この「周速度」が「重心の速度」になるのです。

円周の特定の位置が「すべらずに地面に固定」されるので、重心位置は運動しますが、重心位置に固定した座標から見れば（地面に固定した座標から見ても、ですが）、タイヤは重心位置の周りに回転運動もしています。

それが「並進+回転運動」ということです。

もし「すべっている」ということであれば、それは
・重心位置が動かずに、重心を中心に周速度 v = rω で回転運動する
もしくは
・タイヤは回転せずに、重心も円周も一定の角度を保ったまま速度 v で運動する
というようなことですよね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。感覚的に速度vで打ち出されたタイヤが摩擦ない地面を転がりながら進んでも、そのスピードは速さvなんだと思ってました。けれど解説を読んで、タイヤのような剛体だと、エネルギーの一部が回転運動にも使われるから、並進速度はその分最初の打ち出された速度よりも遅くなるのですね。このような理解であってますでしょうか？

お礼日時：2018/05/27 21:31