0°≦x≦180°の時の、sinx＋sin2x＋sin3x＋sin4x＞0を解け。 解説お願いします

0°≦x≦180°の時の、sinx＋sin2x＋sin3x＋sin4x＞0を解け。

解説お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2018/05/27 13:54

和積の公式 sinx+siny =2 sin((x+y)/2) cos((x-y)/2) より、

sinx＋sin2x＋sin3x＋sin4x
=(sinx＋sin4x) + (sin2x＋sin3x)
=2 sin((x+4x)/2) cos((x-4x)/2) + 2 sin((2x+3x)/2) cos((x-3x)/2)
=2sin(5x/2){ cos((-3x)/2)+ cos((-2x)/2)}
=2sin(5x/2){ cos(3x/2)+ cos(x/2)} … （A）

ここで、和積の公式 cosx+cosy =2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2) より、
(A) = 2sin(5x/2) ・2cosx cos(x/2)
=4sin(5x/2)・cosx・cos(x/2)

あとは、sin(5x/2)、cosx、cos(x/2)の
0°≦x≦180°における符号（+、-）をそれぞれ調べて
(A)>0になる場合を考えれば、それが答えです。

※ sin(5x/2)=0 → 5x/2 = 180°×n（n：整数）
0°≦x≦180°より、x=72°、144°

したがって、0°＜x＜45°、90°＜x＜135°、144°＜x＜180°

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2018/05/29 10:27

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/05/27 15:55

0°≦x≦180°の時の、f(x)=sinx＋sin2x＋sin3x＋sin4x＞0を解け。

和を積にする公式sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A－B)/2)を次の各式に当てはめると
sinx＋sin2x=2sin(3x/2)cos(－x/2)=2sin(3x/2)cos(x/2)＿＿①
sin3x＋sin4x=2sin(7x/2)cos(－x/2)=2sin(7x/2)cos(x/2)＿＿②
①と②を加えると
f(x)=sinx＋sin2x＋sin3x＋sin4x=2sin(3x/2)cos(x/2)+ 2sin(7x/2)cos(x/2)
=2cos(x/2){sin(3x/2)+sin(7x/2)}＿＿③
ここで、さらに{ }の中を、和を積にする公式で変形すると
f(x)= 2cos(x/2){2sin(5x/2)cos(x)}＿＿④
f(x)が因数分解されたので、f(x)=０となるためには
cos(x/2)=0またはsin(5x/2)=0またはcos(x)=0。
cos(x/2)=0よりx=180°＿＿⑤
sin(5x/2)=0よりx=0°または72°または144°＿＿⑥
cos(x)=0よりx=90°＿＿⑦
以上よりf(x)は次の5点で符号が変わる。
0°, 72°, 90°, 144°, 180°＿＿⑧
このほかに零点(x軸との交点)はない。
y=f(x)のグラフは図のようになる。
よってf(x)>0の領域は
0°<x<72°または90°<x<144°＿＿⑨

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2018/05/29 10:27