合成関数

計算途中でcos2θ-sin2θをcos(2θ+45°)とできなくて、ちょっとショックを受けています。
そこでこのような問題をたくさんやりたいのですが、持っている参考書には（簡単すぎるのか）あまり載っていません。そこで皆さんにたくさん問題を作っていただきたいのです。答えもお願いいたします。どうぞよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yamada504 回答日時： 2004/10/10 14:41

　失礼ですが質問欄の右式は√２cos(2θ＋45°)では無いでしょうか？　

　さて、この種の問題ですが、学校の先生が教えてくれた面白い方法があります。文字で表すとめんどくさそうですが、実際に紙に書いて図形的にやってみてください。理論的にやるより簡単ですよ。
　まずサインの係数が－１なので原点からx軸に負の方向（左）に１の長さの線を引きます。次にコサインの係数が＋１なので原点からy軸に正の方向へ１の長さの線を引きます。
　この２辺を使って四角形を作りますと、左上の頂点は（－１，１）の位置にあることが分かりますね。
　そこから原点に対角線を引くと、対角線の長さは√２、x軸からの偏角（複素数と同じ考えです）は１３５°となり、「質問の左式＝√２sin(2θ+135°)」となるわけです。
　つまり「対角線の長さ×sin(角変数＋偏角)です。
　ただしこれはsinの式ですから、cosに変換すると√２cos(2θ＋45°)になるのです（ここは教科書の公式レベルの変換です）。

　分かりましたか？では問題を1問
√３sinθ－cosθ＝αsin(θ+β)　α、βの値を求めなさい。

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございました！本当ですね！こう考えるとすっと解けますね。教えてくださってありがとうございました。たくさん練習します！

お礼日時：2004/10/11 10:45

No.4 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/10 21:56

＞計算途中でcos2θ-sin2θをcos(2θ+45°)とできなく

＞て、ちょっとショックを受けています。
簡単な事です．脳内でそのことに関するネットワークがまだ密になっていないだけのことです．何度も練習していけばあまり考えることなく自然にできるようになります．人間努力です．僕も高校でそれらのことなどを初めて学んだ時はあまりしっかり理解できてなくてなんか変な感じがしました．車を初めて運転した時の変な感じに似ています．それから数年経ったらありとあらゆることが完全に理解できるようになり，すごくすっきりとした感じがします．もちろん，車の運転もあまり考えることなく自然にできるようになっています．
まずは，慣れることです．そのあと，何故そうなるのかということを考えていけばすんなり受け入れれたりするようになります．しかも，学び初めの時とは桁違いにそのことに関連したことが次々頭に入るようになりますよ．

この回答へのお礼

アドバイスしていただきありがとうございます！大変励みになりました。
そうですね。慣れですよね。すっとできるようになるまで頑張ります！本当にどうもありがとうございました！

お礼日時：2004/10/11 10:49

No.3 回答者： qntmphscs 回答日時： 2004/10/10 17:12

ayakakayaさんは、ただの心配性でなく、完璧主義者なのだろうと思ったのでお手伝いします。

答えはしっぽです。
解いた後で、加法定理との関係を確認すると理解が深まります。また、発展的な内容になりますが、ベクトルの内積を学習済みなら２つの平面ベクトル(ａ,ｂ)と(ｓｉｎθ,ｃｏｓθ)の内積を考えてみると発見があるかも。

問題１
合成公式：ａ*ｓｉｎθ＋ｂ*ｃｏｓθ＝√(ａ^2＋ｂ^2)*ｓｉｎ(θ＋α)を使って合成しましょう。ただし、－π≦α≦πとします。

(1)　√３ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ　　　(2)　ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ
(3)　ｓｉｎθ＋√３ｃｏｓθ　　　(4)　－ｓｉｎθ＋√３ｃｏｓθ
(5)　－ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ　　　　(6)　－√３ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ
(7)　－√３ｓｉｎθ－ｃｏｓθ　　(8)　－ｓｉｎθ－ｃｏｓθ
(9)　－ｓｉｎθ－√３ｃｏｓθ　　(10)　ｓｉｎθ－√３ｃｏｓθ
(11)　ｓｉｎθ－ｃｏｓθ　　　　(12)　√３ｓｉｎθ－ｃｏｓθ

問題２
合成公式：ａ*ｓｉｎθ＋ｂ*ｃｏｓθ＝√(ａ^2＋ｂ^2)*ｃｏｓ(θ－β)を使って合成しましょう。ただし、－π≦β≦πとします。

(1)　ｃｏｓθ－√３ｓｉｎθ　　　(2)　ｃｏｓθ－ｓｉｎθ
(3)　√３ｃｏｓθ－ｓｉｎθ　　　(4)　√３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ
(5)　ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ　　　　　(6)　ｃｏｓθ＋√３ｓｉｎθ
(7)　－ｃｏｓθ＋√３ｓｉｎθ　　(8)　－ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ
(9)　－√３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ　　(10)　－√３ｃｏｓθ－ｓｉｎθ
(11)　－ｃｏｓθ－ｓｉｎθ　　　(12)　－ｃｏｓθ－√３ｓｉｎθ

問題１の答え
(1)　２ｓｉｎ(θ＋30°)　　　(2)　√２ｓｉｎ(θ＋45°)
(3)　ｓ２ｓｉｎ(θ＋60°)　　(4)　２ｓｉｎ(θ＋120°)
(5)　√２ｓｉｎ(θ＋135°)　　(6)　２ｓｉｎ(θ＋150°)
(7)　２ｓｉｎ(θ－150°)　　　(8)　√２ｓｉｎ(θ－135°)
(9)　２ｓｉｎ(θ－120°)　　　(10)　２ｓｉｎ(θ－60°)
(11)　√２ｓｉｎ(θ－45°)　　(12)　２ｓｉｎ(θ－30°)

問題２の答え
(1)　２ｃｏｓ(θ＋60°)　　　(2)　√２ｃｏｓ(θ＋45°)
(3)　２ｃｏｓ(θ＋30°)　　　(4)　２ｃｏｓ(θ－30°)
(5)　√２ｃｏｓ(θ－45°)　　(6)　２ｃｏｓ(θ－60°)
(7)　２ｃｏｓ(θ－120°)　　　(8)　√２ｃｏｓ(θ－135°)
(9)　２ｃｏｓ(θ－150°)　　　(10)　２ｃｏｓ(θ＋150°)
(11)　√２ｃｏｓ(θ＋135°)　　(12)　２ｃｏｓ(θ＋120°)

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございました！たくさん問題を作っていただき、本当にありがとうございました！早速練習します！

お礼日時：2004/10/11 10:47

No.1 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/10/10 11:43

加法定理

sin（θ＋α）＝sinθcosα＋cosθsinα

上記のαにsin、cosの計算しやすいものを代入して自分で
つくりましょう。

例えば、α＝45°を代入すると、
sin（θ+45°）＝√2/2cosθ＋√2/2sinθ

式の右辺が問題で、左辺が答えです。30°、60°、90°など、いろいろやってみましょう。

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございました！いろいろやってみます。

お礼日時：2004/10/11 10:41