高1の数学についてです。
絶対値を含む方程式・不等式の問題で、
|x|=aの解は、x=±a
|x|<aの解は、-a<x<a
|x|>aの解は、x<-a、a<x
↑のような公式?を使う時と、場合分けする時の違いがわかりません。
例えば、私は|x-3|<2は上の公式を使って解けたんですけど、
場合分けして、|x-3|>=0と、|x-3|<0、と考えて絶対値記号を外して解く、という手間を省いただけで、
どの問題も場合分けをすれば答えが出せるものなんですか?
文が分かりづらくてごめんなさい。
教えてください、お願いします。
A 回答 (6件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.6
- 回答日時:
|x|の絶対値を外すには
(1)x<0のとき
と
(2)x>0のときに場合分けをします。(x=0についてはどちらかに含んで下されば構いません。)
(1)では絶対値は原点(0のとこ)からの「距離」であり、必ず正になることからそのままではおかしいので「-」をかけてはずし、「x」となります。
(2)ではそのままでも正なのでそのままはずします。
そして、この2つの場合分けを
|x|=a
|x|<a
|x|>a
の3つの式のときにも考えると、
等式では
±x=aの式変形をしてx=±aとなり
2番目の式では
x<aと-x<aが出てきて、その式変形からx<aとx>-aとなり、まとめて-a<x<aとなり、
3番目の式から
x>aと-x>aとなりその式変形からx>aとx<-aとなります。
これらの理論が分かればその応用で解けると思います。公式はその出来方が最重要なので公式は覚えずにその出来方を考えましょう。
No.4
- 回答日時:
No.3です。
もう一言。「公式」を機械的に使うのではなく
|A| は
・A≧0 のとき |A| = A ( > 0 )
・A<0 のとき |A| = -A ( > 0 )
と覚えておけば、いかなる場合にも使えます。
何故なら、「A」は正か負か(または 0 か)ですが、|A| は常に正(または 0 )ということだからです。
No.3
- 回答日時:
(A)
>|x|=aの解は、x=±a
これは a = |x| ≧0 ということです。
なので
・0≦x なら x=a
・x<0 なら x=-a
ということです。
あくまで「0≦x なら」「x<0 なら」という条件下で、符号が決まります。
(B)
>|x|<aの解は、-a<x<a
これは 0≦|x|<a ということです。
なので
・0≦x なら (0≦)x<a
・x<0 なら x=-a(<0)
ということです。
この場合にも、あくまで「0≦x なら」「x<0 なら」という条件下で、符号が決まります。
(C)
>|x|>aの解は、x<-a、a<x
これは、正しくありません。
|x|>a≧0 のことも、|x|>0>a のこともあり得るからです。
これらは x, a 両方の場合分けが必要になります。
(i) |x|>a≧0 のとき
・0≦x なら a<x
・x<0 なら x<-a(<0)
(ii) |x|>(0>)a のとき
これは「絶対値」の定義から、すべての x に対して成立します。
>例えば、私は|x-3|<2は上の公式を使って解けたんですけど、
>場合分けして、|x-3|>=0と、|x-3|<0、と考えて絶対値記号を外して解く、という手間を省いただけで、
>どの問題も場合分けをすれば答えが出せるものなんですか?
この場合にはそれでも解けます。上の (B) のケースだからです。
では、
|x - 3| > -2
だったらどうですか?
「公式」によると
x<2, -2<x
ですね? つまり
-2 < x < 2 ※
ですか?
x=3でも
|3 - 3| = 0 > -2
でも成立しますよ?
ということで、※は間違いです。
つまり、(C) のケースで、a<0 の場合には、お示しの「公式」とやらは使えません。
数字で表された不等式ならよいですが、「記号」で正か負か分からない場合には、きちんと「場合分け」をしないといけません。
「公式」は、適用できる条件・限界を知った上で使いましょう。
No.2
- 回答日時:
No1です。
タイプミスがあったので訂正します。
> 何も考えずに、
> x^2 = ±4
> とやってしまうと、
> x^2 = -2
> という余計な場合を書いてしまうことになります。
→ x^2 = -4
No.1
- 回答日時:
公式とは言わないかもしれませんね。
場合わけして書くのが面倒だから、
省略して書いているだけです。
(やっていることは同じです)
場合わけして書くことが基本ですので、
省略形で書くときは、「面倒だから省略する」という意識で
使ったほうがいいです。
例えば、以下のような問題があったとして、
何も考えずに省略形で解こうとすると、ちょっと不自然な流れになります。
|x^2| = 4 (xの2乗の絶対値 = 4)
何も考えずに、
x^2 = ±4
とやってしまうと、
x^2 = -2
という余計な場合を書いてしまうことになります。
こういう場合は、x^2 ≧ 0だから、
|x^2| = x^2 = 4
となる、というように、最初に絶対値を外してしまうほうが自然です。
※補足(というか蛇足)
もっと高度になってくると、しばしば初等的な話は、「自明」という言葉で
省略することがあります。
ただ、注意しないと、「自明」と言って省略した内容が間違ってたり・・・・
なんてこともよくあるので、省略して書くのは十分注意が必要です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 対数方程式につきまして 4 2022/05/05 07:55
- 数学 数学 絶対値の方程式 不等式を解く場合はこの下線部の段階を踏んで、答えがそれを満たしているか考えない 2 2022/05/07 20:46
- 大学・短大 連立は方程式の文章問題です。 ペン7本とノート5冊の値段は合わせて930円である。 また、ペン2本の 5 2023/04/22 20:10
- 数学 絶対値 場合分け 添付の問題ですが、qの式についてxを0以上、0未満で場合分けしています。 普段、絶 3 2022/12/14 12:37
- 数学 数Ⅱ 複素数 4 2023/04/11 23:43
- 数学 数学『絶対値の方程式』 解が、その文字の範囲を満たさなかった場合解無しになるんですか? x<1の条件 1 2023/02/28 17:04
- 数学 数学3の微分法・対数関数の導関数に関しての質問です。 [ ] は絶対値を表しています。 y=log[ 3 2022/05/24 14:07
- 数学 絶対値の入った一次方程式とグラフ 添付の問題、解答ではグラフを描いて 解いていました。 私はaを場合 2 2022/10/26 17:23
- 数学 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の 1 2022/07/07 16:26
- 数学 絶対値の場合分けについて。 1番下の検討のところで疑問があります。 絶対値の分かれ目は絶対値内の式が 2 2022/08/17 08:02
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
解なし≠解はない
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
微分方程式で、分母=0の場合は...
-
微分方程式 y'=(x-y)/x はどう...
-
2次方程式X^2-3X-1=0の2つの...
-
tanX=Xの解
-
2次方程式 2x^2 - 3x - 4 = 0...
-
aの値に関係なくとよく問題で見...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
今年最後の質問です(積分定数の...
-
2次方程式の問題なんですが
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
微分方程式の定義域
-
振動
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
虚数解
-
f(x)=x^3+ax^2+12x+3が、す...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
tanX=Xの解
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
答えを教えて
-
一枚の板から何枚取れるか?
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
解なし≠解はない
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
数学I 二次方程式について次の...
-
微分方程式 定常解について・・・
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
3次関数と直線が接する場合、...
-
3次方程式の解の範囲について
-
3次関数と1次関数が接するとき
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
次の関数が,与えられた微分方...
-
定数係数以外の2階常微分方程...
-
3次方程式
おすすめ情報