ミクロ経済学 相似拡大的 効用関数

以下の効用関数が相似拡大的であることを示しなさい。

u(c_1,c_2)=1/ρ・log(c_1^ρ+c_2^ρ)

この問題が分かりません。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/06/09 12:48

効用関数が相似拡大的（英語でhomotheticという）とは、無差別曲線群の拡張経路(各無差別が同一の傾き持つ点を結んだ軌跡）が原点を通る直線であるときをいう。

いま、効用関数を
u(x,y) = (1/a)log(x^a + y^a)
と書き直そう（このほうが書くのに楽だから！）拡張経路とは
MRS(x,y)＝ｋ
で陰伏的に定義されるｘとyとの間の関係が関数ｙ＝cx（ｃはある定数）で表わせることを示せばよい。限界代替率MRSは
MRS(x,y) = (∂u/∂x)/(∂u/∂ｙ)＝[x^(a-1)/(x^a +y^a)]/[y^(a-1)/(x^a+y^a)]=x^(a-1)/y^(a-1)
となるから、MRS(x,y)＝ｋとおくと
y^(a-1) =(1/k) x^(a-1)
よって両辺を1/(a-1)乗して
y = (1/k)^(1/(a-1)・x = cx
となる。ただし、c = (1/k)^(1/(a-1) である。　拡張経路は原点を通る直線であることが示された。なお、ｋとしてX財ととY財の相対価格Px/Pyをとるなら、拡張経路とは所得・消費曲線にほかならない。

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございました。
質問履歴を確認したところ、以前にもご回答をいただいたことがありました。
重ねて御礼申し上げます<(_ _)>。

お礼日時：2018/06/14 21:05

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/06/14 05:54

回答し終えたつもりですが、まだ疑問が残っているのでしょうか？疑問があるなら、追加質問してください！あなたには過去に何度か回答した気

がする（ハンドルネームが将棋の戦型の名前なので覚えている！）

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/06/10 06:00

No1への追記です。

相似拡大的効用関数の典型的例の一つは

u(x,y) = xy

ですが、MRS＝y/xですから（なぜ？）、拡張経路は
MRS = k (kは任意の正の定数）
より
y = kx
と、ｙを縦軸に、ｘを横軸にとってグラフを描くと「原点を通る直線」となることがわかるでしょう。私の回答No1でも同じことを、あなたの質問の効用関数についても行っているのです！理解できたでしょうか？