
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
nを整数とし、命題Pを「nは4の倍数⇒ nは8の倍数」とする。
(1) 命題Pの逆・対偶を述べ、それらの真偽を調べよ。
(2) 命題Pの裏を述べよ。
1、
定義の確認
命題pは「nは4の倍数」例えば4,8.12.16です。
命題qは「nは8の倍数」例えば8.16です。
命題Pは「p⇒q」すなわち「pならばq」
この命題Pは偽です。nが4または12が反例で
pであるがqでない。
2、(1) 命題Pの逆・対偶
命題Pの逆は「q⇒p」すなわち「qならばp」
これは真です。例では8.16は8の倍数だから4の倍数である。
命題Pの対偶はnotq⇒not p すなわち「qでないならばpでない」
です。これは偽です。反例n=4,12は8の倍数でないが4の倍数でないとは言えない。
3、(2) 命題Pの裏
命題Pの裏はnot p⇒not q
nが4の倍数でなければ8の倍数でない。これは真である。
4、命題Pの裏は、「(命題Pの逆)の対偶」であるから、
(命題Pの逆)が真なら、(命題Pの裏)も真である。
5、命題Pの逆「q⇒p」の説明
「nが8の倍数ならnは4のばいすうである」を
式で書いた場合を例で示すと
8、16、24は8の1倍,2倍,3倍だから
8×1,8×2,8×3と書ける。n=8k (k=1,2,3)と書ける。
8、16、24は、また、4の2倍,4倍,6倍だから
4×2,4×4,4×6と書ける。n=4×2k (k=1,2,3)と書ける。
6、質問者への要望
質問者の写真は最初の一行の最後の「とする。」がよく読めない。
「nを整数とし、命題Pを「nは4の倍数⇒ nは8の倍数」とする。
論理学では、読めない文字があると、議論が成立しない。
No.1
- 回答日時:
結論から言うと8の倍数n=8kが4の倍数であると示すためです。
まず、何を調べているかをはっきりさせると、
画像の命題の逆である
「nは8の倍数ならば、nは4の倍数である」
ということの真偽、つまり(常に)成り立つか否か ということ。
(kが整数ならば2kも整数であるという事をおさえておいて)
4の倍数であるという事を言うためには、4x整数という形を示せれば良いわけだから、
nが8の倍数8kのとき
4x整数の形にならないかと考えます。
すると、n=8kは、8K=4x2K[4x(整数2k)]という形にも出来ると気づきます。
これで、nは4の倍数だという事ができるのです。
結果命題の逆が真であることが分かります。
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