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高1数学 集合について質問です。

命題  整数nの平方が偶数ならばnは偶数である. を証明せよ.

という問題で答えが次のようになっています。

対偶:「m,nがともに3の倍数でないならば、m,nは3の倍数でない.」 
p,qを整数とする.
[1] m=3p+1,n=3q+1のとき、
mn=3(3pq+p+q)+1

[2] m=3p+1, n=3q+2のとき、
mn=3(3pq+2p+q)+2

[3] m=3p+2, n=3q+1のとき、
mn=3(3pq+p+2q)+2

[4] m=3p+2, n=3q+2のとき、
mn=3(3pq+2p+2q+1)+1

となり、いずれの場合もm,nは3の倍数とはならない.
よって、対偶は真であるので、もとの命題も真である.



ここで質問なんですが、何故3p+1や3p+2しかないのですか。3p+4とかじゃダメなんですか?あと何故4つの式なんですか?分かりにくい質問ですみません。解説していただけると嬉しいです。

A 回答 (5件)

まず、命題と対偶が一致していないようですが・・・


それはさておき、記載された対偶について
3p,3p+1と,3p+2の3タイプを用意して 
p=0とすれば
3p=0,3p+1=1,3p+2=2
p=1とすれば
3p=3,3p+1=4,3p+2=5
というようにすべての数が網羅できています
よってこの3タイプ以外は余分となります!(ちなみに 3Pは3の倍数となるので、3の倍数でないmやnはこれを除いた3p+1,3p+2で表されます)
なおこの3タイプのPをp+1に置き換えて、
3(p+1)=3P+3,3(P+1)+1=3P+4,3(p+1)+2=3p+5としても不可能ではないですが
p部分をわざわざp+1で置き換えた形式である 3P+4などを使う人はあまりいないと思います

つぎに、前に示した例を見てもらえばわかる通り、3p+1(3q+1)とは3で割ると1あまる数を表しています(無論3の倍数ではない)
3P+2(3q+2)はあまり2となります(こちらも3の倍数ではない)
m、nの数の組み合わせとしては
①m、nともにあまり1となるような数のとき
②mはあまり1で、nはあまり2となるような数の組み合わせのとき
③mはあまり2で、nはあまり1となるような数の組み合わせのとき
④m、nともにあまり2となるような数のとき
という4タイプが考えられますから模範解答は4タイプをそれぞれ証明しているのです
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命題  整数nの平方が偶数ならばnは偶数である.


の対偶は nが奇数ならば整数nの平方が偶数ではない。
整数nに偶数=2mと奇数=2m±1(mは整数)がある。
n=2m±1の場合
n²=4m²±4m+1=4(m²±m)+1は奇数
対偶は真なので
命題も真

と言うのが命題を対偶で証明する方法です。
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この回答へのお礼

対偶は私の入力ミスで次の問題の解答になってしまっていました。分かりにくくなってしまいすみません。明確に説明していただきありがとうございます!

お礼日時:2020/04/28 17:57

7を3で割ると、7÷3=2‥1になります。

つまり7=3×p(2)+1
8の場合は   8÷3=2‥2 8=3×p(2)+2
(9は3の倍数なので飛ばして)
10の場合は  10÷3=3‥1 10=3×p(3)+1
とどんな数でも3で割ると余りは1か2にしかなりません。
3p+4=3p+(1+3)となり、3p+1と同じように扱われます。

上に書いたようにMとNは+1の形か、+2の形であらすことができます。
1、Mが+1でNも+1
2、Mが+1でNが+2
3、Mが+2でNが+1
4、Mが+2でNも+2
の4つになるわけなのです!

上手く説明できていませんが、お役に立てれば幸いです!
お勉強頑張ってください!
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この回答へのお礼

そういうこどなんですね!とっても分かりやすかったです。何故4パターンなのかよく分かりました。ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/28 18:00

まず、そもそも、「整数nの平方が偶数ならばnは偶数である」の対偶は、


「m,nがともに3の倍数でないならば、m,nは3の倍数でない.」ではなく
「整数nが奇数ならば、その平方n²は奇数である」ですが。

「3p+4とかじゃダメなんですか」→3p+4=3(p+1)+1なので、これは、3p+1の形に含めてしまっているから。(含めてしまっていいから)

「何故4つの式なんですか?」→mが3p+1か3p+2の2通り、nが3q+1か3q+2の2通りだから、全部で2×2=4通りあるから。
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この回答へのお礼

明確な解説ありがとうございます!対偶は、次の問題の解答を入力してしまいました。分かりにくくなってしまいすみません。

お礼日時:2020/04/28 17:53

pが整数という集合なら


3p+3という集合は、{・・・.-9,-6,-3,0,3,6,9,12,・・・}となり、
3pという集合と同じになりますので、考えなくてよいです。
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この回答へのお礼

3で割れるので結局3pと同じになるということですよね。解説ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/28 17:54

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