高1数学 集合について質問です。 命題 整数nの平方が偶数ならばnは偶数である. を証明せよ. とい

高1数学　集合について質問です。

命題　　整数nの平方が偶数ならばnは偶数である. を証明せよ.

という問題で答えが次のようになっています。

対偶:「m,nがともに3の倍数でないならば、m,nは3の倍数でない.」　
p,qを整数とする.
[1] m＝3p＋1,n＝3q＋1のとき、
mn＝3(3pq＋p＋q)＋1

[2] m＝3p＋1, n＝3q＋2のとき、
mn＝3(3pq＋2p＋q)＋2

[3] m＝3p＋2, n＝3q＋1のとき、
mn＝3(3pq＋p＋2q)＋2

[4] m＝3p＋2, n＝3q＋2のとき、
mn＝3(3pq＋2p＋2q＋1)＋1

となり、いずれの場合もm,nは3の倍数とはならない.
よって、対偶は真であるので、もとの命題も真である.



ここで質問なんですが、何故3p＋1や3p＋2しかないのですか。3p＋4とかじゃダメなんですか？あと何故4つの式なんですか？分かりにくい質問ですみません。解説していただけると嬉しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/28 17:10

まず、命題と対偶が一致していないようですが・・・

それはさておき、記載された対偶について
3p,3p+1と,3p+2の３タイプを用意して　
p=0とすれば
3p=0,3p+1=1,3p+2=2
p=1とすれば
3p=3,3p+1=4,3p+2=5
というようにすべての数が網羅できています
よってこの３タイプ以外は余分となります！（ちなみに　3Pは３の倍数となるので、３の倍数でないｍやｎはこれを除いた3p+1,3p+2で表されます）
なおこの３タイプのPをp+1に置き換えて、
3(p+1)=3P+3,3(P+1)+1=3P+4,3(p+1)+2=3p+5としても不可能ではないですが
p部分をわざわざp+1で置き換えた形式である　3P+4などを使う人はあまりいないと思います

つぎに、前に示した例を見てもらえばわかる通り、3p+1（3q+1)とは3で割ると１あまる数を表しています（無論３の倍数ではない）
3P+2(3q+2)はあまり２となります（こちらも３の倍数ではない）
ｍ、ｎの数の組み合わせとしては
①ｍ、ｎともにあまり１となるような数のとき
②ｍはあまり１で、ｎはあまり２となるような数の組み合わせのとき
③ｍはあまり２で、ｎはあまり１となるような数の組み合わせのとき
④ｍ、ｎともにあまり２となるような数のとき
という４タイプが考えられますから模範解答は４タイプをそれぞれ証明しているのです

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/04/28 17:13

ｐが整数という集合なら

3ｐ+3という集合は、{・・・.-9,-6,-3,0,3,6,9,12,・・・}となり、
3pという集合と同じになりますので、考えなくてよいです。

この回答へのお礼

3で割れるので結局3pと同じになるということですよね。解説ありがとうございます！

お礼日時：2020/04/28 17:54

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/04/28 17:20

まず、そもそも、「整数nの平方が偶数ならばnは偶数である」の対偶は、

「m,nがともに3の倍数でないならば、m,nは3の倍数でない.」ではなく
「整数nが奇数ならば、その平方n²は奇数である」ですが。

「3p＋4とかじゃダメなんですか」→3p+4=3(p+1)+1なので、これは、3p+1の形に含めてしまっているから。（含めてしまっていいから）

「何故4つの式なんですか？」→mが3p+1か3p+2の2通り、nが3q+1か3q+2の2通りだから、全部で2×2=4通りあるから。

この回答へのお礼

明確な解説ありがとうございます！対偶は、次の問題の解答を入力してしまいました。分かりにくくなってしまいすみません。

お礼日時：2020/04/28 17:53

No.4 回答者： 舞依 回答日時： 2020/04/28 17:26

７を３で割ると、７÷３＝２‥１になります。

つまり７＝３×ｐ(２)＋１
８の場合は　　　８÷３＝２‥２　８＝３×ｐ(２)＋２
（９は３の倍数なので飛ばして）
１０の場合は　　１０÷３＝３‥１　１０＝３×ｐ(３)＋１
とどんな数でも３で割ると余りは１か２にしかなりません。
３ｐ＋４＝３ｐ＋（１＋３）となり、３ｐ＋１と同じように扱われます。

上に書いたようにMとNは＋１の形か、＋２の形であらすことができます。
１、Mが＋１でNも＋１
２、Mが＋１でNが＋２
３、Mが＋２でNが＋１
４、Mが＋２でNも＋２
の４つになるわけなのです！

上手く説明できていませんが、お役に立てれば幸いです！
お勉強頑張ってください！

この回答へのお礼

そういうこどなんですね！とっても分かりやすかったです。何故4パターンなのかよく分かりました。ありがとうございます！

お礼日時：2020/04/28 18:00

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2020/04/28 17:29

命題　　整数nの平方が偶数ならばnは偶数である.

の対偶は　ｎが奇数ならば整数nの平方が偶数ではない。
整数nに偶数＝２ｍと奇数＝２ｍ±１（ｍは整数）がある。
ｎ＝２ｍ±１の場合
ｎ²＝４ｍ²±４ｍ＋１＝４（ｍ²±ｍ）＋１は奇数
対偶は真なので
命題も真

と言うのが命題を対偶で証明する方法です。

この回答へのお礼

対偶は私の入力ミスで次の問題の解答になってしまっていました。分かりにくくなってしまいすみません。明確に説明していただきありがとうございます！

お礼日時：2020/04/28 17:57