この問題の(3)を教えてください答えはb≦０かつａ＋b＋１≦０かつ(ａ,b)≠(－１,０)です。

Question

この問題の(3)を教えてください
答えはb≦０かつａ＋b＋１≦０かつ(ａ,b)≠(－１,０)です。

majimelon37 · Accepted Answer

実数xについての命題
「ｘ²－ｘ－２＜０ならば０＜ｘ＜１である。」･･･①
がある。次の問いに答えよ。
(1) 命題①の逆、裏、対偶を述べよ。
(2) 命題①およびその逆、裏、対偶の真偽を述べよ。
(3)一般に、実数の定数a,bに対して、実数xについての命題
「ｘ²＋aｘ+b＜０ならば０＜ｘ＜１である。」･･･②
を考える。命題②およびその逆、裏、対偶の真偽が、命題①およびその逆、裏、対偶の真偽と
それぞれ一致するように、a,bの条件を定めよ。
(1)命題①と逆、裏、対偶および(2)その真偽
命題①の前提部分はｘ²－ｘ－２＜０より(x－2)(x+1)＜０, －1＜x＜2となる。
①「－1＜x＜2ならば０＜ｘ＜１である。」･･･偽
反例：たとえばx=1の時は－1＜x＜2であるが０＜ｘ＜１ではない。
①の逆は０＜ｘ＜１ならばｘ²－ｘ－２＜０である。
「０＜ｘ＜１ならば－1＜x＜2である。」･･･真
①の裏はｘ²－ｘ－２＜０でなければ０＜ｘ＜１でない。
「－1＜x＜2でなければ０＜ｘ＜１でない。」･･･真
①の対偶は０＜ｘ＜１でなければｘ²－ｘ－２＜０でない。
「０＜ｘ＜１でなければ０＜ｘ＜１･･･偽
反例：たとえばx=1の時、０＜ｘ＜１でないのにｘ²－ｘ－２＜０となる。
(3)命題②とその逆、裏、対偶の真偽が、命題②のそれらと一致する条件
y=f(x)=ｘ²＋aｘ+bとすると、そのグラフは図に示すような状況にあり、
f(0)<0またはf(1)<0が条件である。
以下a,bの条件式は同じである。
f(0) =b <0またはf(1) =1＋a +b <0
命題②は「ｘ²＋aｘ+b＜０ならば０＜ｘ＜１である。」･･･偽
f(x)のグラフがx軸の下でも０＜ｘ＜１の範囲外のxがある。
②の逆は０＜ｘ＜１ならばｘ²＋aｘ＋ｂ＜０である。･･･真
②の裏はｘ²＋aｘ＋ｂ＜０でなければ０＜ｘ＜１でない。･･･真
②の対偶は０＜ｘ＜１でなければｘ²+aｘ+b＜０でない。･･･偽

konjii · Answer

①の逆は０＜ｘ＜１ならばｘ²－ｘ－２＜０である。・・・真
①の裏はｘ²－ｘ－２＜０でなければ０＜ｘ＜１でない。・・・真
①の対偶は０＜ｘ＜１でなければｘ²－ｘ－２＜０でない。・・・真
②の逆は０＜ｘ＜１ならばｘ²＋aｘ＋ｂ＜０である。・・・真
②の裏はｘ²＋aｘ＋ｂ＜０でなければ０＜ｘ＜１でない。・・・真
②の対偶は０＜ｘ＜１でなければｘ²+aｘ+b＜０でない。・・・真
②の逆が真であるためにはｂ≧０かつ１＋a＜ｂ
②の裏が真であるためにはa²＜４ｂ
②の対偶が真であるためにはｂ≧０かつ０＞a＋ｂ＋１
　　　　　　　　　　　又はｂ≧０かつ０＞aーｂ＋１

この問題の(3)を教えてください 答えはb≦０かつａ＋b＋１≦０かつ(ａ,b)≠(－１,０)です。

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①の逆は０＜ｘ＜１ならばｘ²－ｘ－２＜０である。

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