漸化式の解法

ある確率の問題を解いていて、漸化式を立てると、次の式が得られました。
自然な発想で立式したつもりですが、高校で普通は習わない形になりました。
自分でも大学以降の本を調べてみますが、解き方を教えてください。
6a(n+2)=6a(n+1)-4/3(a(n))+(1/2)^(n+1)(n≧１）
a(1)=0,a(2)=1/12

No.2 回答者： GBde 回答日時： 2018/07/18 08:44

a[n]=1/2 3^(1 - 2 n) (3^n + 6^n - 2^(1 - n) 9^n)

{0, 1/12, 1/8, 55/432, 95/864, 1351/15552, 2023/31104, 26335/559872, \
4135/124416, 465751/20155392, 640343/40310784, 7859215/725594112, \
10654735/1451188224, 129442951/26121388032, 58059821/17414258688, \
2104469695/940369969152, 2820286655/1880739938304, \
33972448951/33853318889472, 45425651383/67706637778944, \
546269553775/1218719480020992, 243173772325/812479653347328, \
8764714059751/43873901280755712, 11696744368103/87747802561511424, \
140455067207455/1579460446107205632, \
187367560529695/3158920892214411264, \
2249257981411351/56860576059859402752, \
111105848448949/4211894522952548352, \
36005920360726735/2046980738154938499072, \
48015519322308815/4093961476309876998144, \
576254861708199751/73691306573577785966592, \
768408445630383943/147382613147155571933184, \
9221519018813407615/2652887036648800294797312, \
4098658787905279445/1768591357765866863198208, \
147557275416566680951/95503933319356810612703232, \
196748592943595507063/191007866638713621225406464, \
2361033146833885346095/3438141599496845182057316352, \
3148094227300706302255/6876283198993690364114632704, \
37777581011376927670951/123773097581886426554063388672, \
16790186099661167307661/82515398387924284369375592448, \
604450752142405286238175/4455831512947911355946281992192, \
805938388744660230084575/8911663025895822711892563984384, \
9671297137930100908545751/160409934466124808814066151718912, \
12895099323568379033343703/320819868932249617628132303437824, \
154741520139779146844179855/5774757640780493117306381461880832, \
22924706123333376992663255/1283279475728998470512529213751296, \
2475871215632676081669241351/207891275068097752223029732627709952, \
3301164575156251203477961223/415782550136195504446059465255419904, \
39614001490689232661750467135/7484085902451519080029070374597558272, \
52818695243066575348178340415/14968171804903038160058140749195116544, \
633824582216127571845716253751/\
269427092488254686881046533485512097792, \
281699894084721872592838549181/\
179618061658836457920697688990341398528, \
10141198340743948237100140396015/\
9699375329577168727717675205478435520512, \
13521599941352559223824744381935/\
19398750659154337455435350410956871041024, \
162259218679476369358717574638951/\
349177511864778074197836307397223678738432, \
216345644289214154153510493154663/\
698355023729556148395672614794447357476864, \
2596147905919780822933507970062495/\
12570390427132010671122107066300052434583552, \
1153843571891861805226330561759285/\
8380260284754673780748071377533368289722368, \
41538370158149923926114323788012951/\
452534055376752384160395854386801887645007872, \
55384495114242797554157251307314583/\
905068110753504768320791708773603775290015744, \
664613955501299661812160768149162575/\
16291225993563085829774250757924867955220283392, \
886151954798785640437308360761412175/\
32582451987126171659548501515849735910440566784, \
10633823584758902508590467862806551751/\
586484135768271089871873027285295246387930202112, \
1575381285946519796544296928201804367/\
130329807948504686638194006063398943641762267136, \
170141180026785411448398191094889792255/\
21113428887657759235387428982270628869965487276032, \
226854907846941822022552834987899568895/\
42226857775315518470774857964541257739930974552064, \
2722258904464353325111277985680922991351/\
760083439955679332473947443361742639318757541937152, \
3629678549586855894334645776116498520823/\
1520166879911358664947894886723485278637515083874304, \
43556142687751733879766012446570231247535/\
27363003838404455969062107961022735015475271509737472, \
19358285669903924995829157015376372044005/\
18242002558936303979374738640681823343650181006491648}

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/18 08:35

6a(n+2)=6a(n+1)-4/3(a(n))+(1/2)^(n+1)(n≧１）

先ず、a(n)＝α(1/2)^nとおいて、特殊解（漸化式を満足するものなら何でもよい。）を求めます。(邪魔な(1/2)^(n+1)を無くすために、行います。）

6α(1/2)^(n+2) =6α(1/2)^(n+1)-4/3α(1/2)^n+(1/2)^(n+1)
上式を(1/2)^(n+1)で割って、
6α(1/2) =6α-8/3α+1
α=-3 特殊解として
a(n)＝-3(1/2)^n
が得られます。
ここで、
a(n)＝b(n)-3(1/2)^n
と置きます。
3b(n+2)=3b(n+1)-2/3(b(n))
上式より、特性方程式
3x^2-3x+2/3=0
(3x-1)(3x-2)=0
が得られ、特性根
x=1/3、2/3
が得られます。
b(n)= α(1/3)^(n-1)+β(2/3)^(n-1)　（α(1/3)^n+β(2/3)^nでもよい。）
(このαは、前半で用いたαとは異なることに注意)
a(n)＝b(n)-3(1/2)^n
=α(1/3)^(n-1)+β(2/3)^(n-1) -3(1/2)^n
において、
a(0)=0, a(1)=1/12
とすると、
α+β-3/2=0
α+2β=5/2 (α(1/3)+β(2/3) -3(1/2)^2=1/12より)
α=1/2,β=1

したがって、
a(n)＝(1/2)(1/3)^(n-1)+(2/3)^(n-1) -3(1/2)^n
となります。