5番の解き方教えてくださいm(_ _)m

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No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/08 20:42

A の特異値分解

行列Aを特異値分解の標準形F３,４(r)に変形せよ。またPAQ= F３,４(r)となるPとQを求めよ。
A = 2 11 5 3　＿＿①
　　 3 12 11 7
　　　1 1 6 4
答えの行列は数配列がゆがまないように図にした。
１，初めに、特異値分解の答えを書くと、②③④⑤となる。
PAQ= F３,４(r)＿＿②
P =　 0.539868　 　0.800412　0.260544　　＿＿③
　　－0.612543　　0.161268　0.773811
　　 0.577350　－0.577350　0.577350　
F３,４(r)=　 22.423675　 0　　　　　 0　　＿＿④
　　　　　 　0　　　　5.760103　　　0
　　　　　　 0　　　　　 0　　　　　 0
Q=　　 0.166856　 0.005647　0　　＿＿⑤
　　　　0.704792 －0.699458　 0
　　　　0.582738　 0.582298　 0
　　　　0.368569　 0.414314　 0
数値の計算はExcelを使って行った。
Aは3×4行列、Pは3×3、F３,４(r)は3×3行列であるが、rank(階数)はr=2である。
Qは4×3行列である。
２，答えの求め方
(１) AATの対角化
はじめにAとATをかけて、対称行列AATを求めると(Tは転置の記号)
AAT =　159　214　55 ＿＿⑥
　　　　214　323 109
　　　　 55　109　54
AATは対称行列だから、対角化が可能である。これをまず対角化する。
この行列の固有値を求めるために、特性方程式を作ると
det(AAT－λI)
=|　 159－λ 214 　　 55　　|　＿＿⑦
　|　 214 　323－λ 109 |
　|　 55 　109 　　 54－λ |
= (159－λ) (323－λ)(54－λ) +214･109･55+55･214･109
－109^2 (159－λ)－55^2 (323－λ) －214^2 (54－λ)
=－λ^3 +536λ^2－16683λ=0＿＿⑧
λ(λ^2－536λ+16683)=0＿＿⑨
これを解くと、次の3個の固有値を得る。
λ1=(536+√(220564)/2==502.821209＿＿⑩
λ2=(536－469.6424171)/ 2 =33.178791＿＿⑪
λ3=0＿＿⑫
この固有値に属する固有ベクトルxiを求めるには、行列(AAT－λiI)xi=0を解く。結果は⑬となる。
x1=(2.072081　，　x2=(　-0.791593　，　x3=(　 １ ＿＿⑬
　　　3.072081　　　　　　0.208407　　　　　　－１
　　　　1　　 )　　　　　　　　1　　)　　　　　　 1 )
これらのベクトルの長さは定まらないので、長さ1に規格化して、x1,x2,x3を並べた行列を作ると
R =〔x1 x2 x3〕
=　　0.539868　　-0.612543　 0.577350　　＿＿⑭
　　　0.800412　 0.161268　-0.577350
　　　0.260544　　0.773811　 0.577350
Rの転置行列はR Tと書く。
AATが対称行列だから、異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交するので、Rは直交行列である。またR TはRの逆行列である。式⑥のAATに式⑮のRを掛けると、x1 x2 x3はAATの固有ベクトルだから
AAT R=〔x1 x2 x3〕=〔λ1x1　 λ2x2 　λ3x3〕＿＿⑮
⑮にRTを掛けると、RT AATRとなり、これはAATの対角化であるから対角行列D⑯となる。
D =RT AAT R ＿＿⑯
＝　λ1　0　0
　　0　λ2　0
　　0　0　λ3
Dを数値計算すると⑰となる。
D＝　502.821209　　　0　　　　　0　　＿＿⑰
　　　　0　　　　　　33.178791　 0
　　　　0　　　　　　　0　　　　　0
D=RT AAT Rの対角成分はλ1，λ2のみで、λ3は0であるから、Dのrank(階数)は2である。
(２)特異値分解の標準形F３,４(r)
次にATAの標準形からAの標準形を求める計算を行う。
式⑯の対角行列Dを二つの行列に分けて、⑱⑲とする。ΣT=Σである。
D=ΣTΣ＿＿⑱
ΣT=　σ1　　0　　 0　　，Σ=　σ1　　0　　 0　　＿＿⑲
　　　 0　 σ2　　0　　　　　　 0　 σ2　 0
　　　 0　　 0　　 0　　　　　　0　　 0　　0
ここでσ1，σ2は⑳とする。σ1，σ2を特異値という。
σ1=√λ1=22.423675，σ2=√λ2=5.760103　＿＿⑳
式⑯と⑱から
D =RT AATR =ΣTΣ＿＿㉑
とするとAATの標準形を求めることができる。式㉑に左からR、右からRTを掛けると次式となる。
R RT AAT R RT = RΣTΣRT
RとRTは逆行列だから、R RTは消えるので㉒となる。
AAT = RΣTΣRT＿＿㉒
AATの標準形が得られた。ここで
V= RΣT＿＿㉓
と置く。Vの転置行列は(RΣT)の転置で、それはRとΣTの掛け算の順序を変えて、各々を転置するので
VT= (RΣT)T=ΣRT＿＿㉔
㉒に㉓㉔を入れると
AAT = VVT＿＿㉕
これからAの標準形はA=Vとなるかというと、そうはならない。Aは3×4行列で、Vは3×3行列だから、等しくなり得ない。そこで、列の数が一つだけの違いだから、未知の3×4行列Sをかけて
A=VS＿＿㉖
と仮定して、㉕が成立するようにSを定める。
㉖に㉓を入れると㉗になり、両辺にRTを掛けると㉘になる。
A=VS= RΣTS＿＿㉗
RT A= RTRΣTS=ΣTS＿＿㉘
式㉘の右辺のΣTをかけた影響を除くには、次の行列Uをかければよい。ΣTはランク２の行列だから、
Uは１行と２行の部分を逆行列に変えた行列である。㉘に㉙をかけた結果からSは㉚となる。
U=　1/σ1　　0　　0　＿＿㉙
　　　0　　1/σ2　 0
　　　0　　　0　　 0
U RT A =S，S= U RT A＿＿㉚
㉚からSを計算すると
S= U RT A
=　　0.166856　 0.704792　 0.582738　　0.368569　　＿＿㉛
　　 0.005647　-0.699458　 0.582298　　0.414314
　　　 0　　　 　0　　　 　0　　　　 0　　
SSTを計算すると、㉜になり、その中のAATに㉒を入れて、RT Rを消すと
SST= URTA(URTA)T=URTA(ATRUT) =URTAATRUT＿＿㉜
SST=URTAATRUT =URT RΣTΣRT RUT=UΣTΣUT＿＿㉝
SSTは㉞の行列になる。
SST=　1　0　0 ＿＿㉞
　　　 0　1　0
　　　 0　0　0
Sが得られたので、㉗の右辺を計算すると、⑭⑲⑳㉛を使って
RΣTS
= 2 11 5 3　= A＿＿㉟
　　3 12 11 7
　　1 1 6 4
㉟RΣTS= Aの両辺に左からR Tをかけ、右からS Tをかけると㊱になる。
R T RΣTS S T = R T A S T
ΣTS S T = R T A S T＿＿㊱
この左辺のS S Tは、1，2行部分が単位行列で3行部分が０だから、㊱の左辺はΣTになる。
ΣT= R T A S T＿＿㊲
㊲を問題文のPAQ= F３,４(r)と比較すると
F３,４(r)=ΣT，P= R T，Q= S T＿＿㊳

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/08/03 11:09

すみません。

特異値分解の話は無視してください。

近代科学社「スッキリわかる線形代数－解法テクニックつきー」のＰ１２７にやり方が書いてあります。それに基づいて計算します。

ただし、計算の前に基本変形をする必要があります。

基本変形の過程を詳しく書き下してください。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/08/03 10:26

一つ確認ですが、特異値分解は扱いましたか？

この回答へのお礼

扱ってはいないのですが
ありがとうございます…！

お礼日時：2018/11/02 13:22