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5番の解き方教えてくださいm(_ _)m

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A 回答 (3件)

A の特異値分解


行列Aを特異値分解の標準形F3,4(r)に変形せよ。またPAQ= F3,4(r)となるPとQを求めよ。
A = 2 11 5 3 __①
   3 12 11 7
   1 1 6 4
答えの行列は数配列がゆがまないように図にした。
1,初めに、特異値分解の答えを書くと、②③④⑤となる。
PAQ= F3,4(r)__②
P =  0.539868   0.800412 0.260544  __③
  -0.612543  0.161268 0.773811
   0.577350 -0.577350 0.577350 
F3,4(r)=  22.423675  0      0  __④
       0    5.760103   0
       0      0      0
Q=   0.166856  0.005647 0  __⑤
    0.704792 -0.699458  0
    0.582738  0.582298  0
    0.368569  0.414314  0
数値の計算はExcelを使って行った。
Aは3×4行列、Pは3×3、F3,4(r)は3×3行列であるが、rank(階数)はr=2である。
Qは4×3行列である。
2,答えの求め方
(1) AATの対角化
はじめにAとATをかけて、対称行列AATを求めると(Tは転置の記号)
AAT = 159 214 55 __⑥
    214 323 109
     55 109 54
AATは対称行列だから、対角化が可能である。これをまず対角化する。
この行列の固有値を求めるために、特性方程式を作ると
det(AAT-λI)
=|  159-λ 214    55  | __⑦
 |  214  323-λ 109 |
 |  55  109    54-λ |
= (159-λ) (323-λ)(54-λ) +214・109・55+55・214・109
-109^2 (159-λ)-55^2 (323-λ) -214^2 (54-λ)
=-λ^3 +536λ^2-16683λ=0__⑧
λ(λ^2-536λ+16683)=0__⑨
これを解くと、次の3個の固有値を得る。
λ1=(536+√(220564)/2==502.821209__⑩
λ2=(536-469.6424171)/ 2 =33.178791__⑪
λ3=0__⑫
この固有値に属する固有ベクトルxiを求めるには、行列(AAT-λiI)xi=0を解く。結果は⑬となる。
x1=(2.072081 , x2=( -0.791593 , x3=(  1 __⑬
   3.072081      0.208407      -1
    1   )        1  )       1 )
これらのベクトルの長さは定まらないので、長さ1に規格化して、x1,x2,x3を並べた行列を作ると
R =〔x1 x2 x3〕
=  0.539868  -0.612543  0.577350  __⑭
   0.800412  0.161268 -0.577350
   0.260544  0.773811  0.577350
Rの転置行列はR Tと書く。
AATが対称行列だから、異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交するので、Rは直交行列である。またR TはRの逆行列である。式⑥のAATに式⑮のRを掛けると、x1 x2 x3はAATの固有ベクトルだから
AAT R=〔x1 x2 x3〕=〔λ1x1  λ2x2  λ3x3〕__⑮
⑮にRTを掛けると、RT AATRとなり、これはAATの対角化であるから対角行列D⑯となる。
D =RT AAT R __⑯
= λ1 0 0
  0 λ2 0
  0 0 λ3
Dを数値計算すると⑰となる。
D= 502.821209   0     0  __⑰
    0      33.178791  0
    0       0     0
D=RT AAT Rの対角成分はλ1,λ2のみで、λ3は0であるから、Dのrank(階数)は2である。
(2)特異値分解の標準形F3,4(r)
次にATAの標準形からAの標準形を求める計算を行う。
式⑯の対角行列Dを二つの行列に分けて、⑱⑲とする。ΣT=Σである。
D=ΣTΣ__⑱
ΣT= σ1  0   0  ,Σ= σ1  0   0  __⑲
    0  σ2  0       0  σ2  0
    0   0   0      0   0  0
ここでσ1,σ2は⑳とする。σ1,σ2を特異値という。
σ1=√λ1=22.423675,σ2=√λ2=5.760103 __⑳
式⑯と⑱から
D =RT AATR =ΣTΣ__㉑
とするとAATの標準形を求めることができる。式㉑に左からR、右からRTを掛けると次式となる。
R RT AAT R RT = RΣTΣRT
RとRTは逆行列だから、R RTは消えるので㉒となる。
AAT = RΣTΣRT__㉒
AATの標準形が得られた。ここで
V= RΣT__㉓
と置く。Vの転置行列は(RΣT)の転置で、それはRとΣTの掛け算の順序を変えて、各々を転置するので
VT= (RΣT)T=ΣRT__㉔
㉒に㉓㉔を入れると
AAT = VVT__㉕
これからAの標準形はA=Vとなるかというと、そうはならない。Aは3×4行列で、Vは3×3行列だから、等しくなり得ない。そこで、列の数が一つだけの違いだから、未知の3×4行列Sをかけて
A=VS__㉖
と仮定して、㉕が成立するようにSを定める。
㉖に㉓を入れると㉗になり、両辺にRTを掛けると㉘になる。
A=VS= RΣTS__㉗
RT A= RTRΣTS=ΣTS__㉘
式㉘の右辺のΣTをかけた影響を除くには、次の行列Uをかければよい。ΣTはランク2の行列だから、
Uは1行と2行の部分を逆行列に変えた行列である。㉘に㉙をかけた結果からSは㉚となる。
U= 1/σ1  0  0 __㉙
   0  1/σ2  0
   0   0   0
U RT A =S,S= U RT A__㉚
㉚からSを計算すると
S= U RT A
=  0.166856  0.704792  0.582738  0.368569  __㉛
   0.005647 -0.699458  0.582298  0.414314
    0     0     0     0  
SSTを計算すると、㉜になり、その中のAATに㉒を入れて、RT Rを消すと
SST= URTA(URTA)T=URTA(ATRUT) =URTAATRUT__㉜
SST=URTAATRUT =URT RΣTΣRT RUT=UΣTΣUT__㉝
SSTは㉞の行列になる。
SST= 1 0 0 __㉞
    0 1 0
    0 0 0
Sが得られたので、㉗の右辺を計算すると、⑭⑲⑳㉛を使って
RΣTS
= 2 11 5 3 = A__㉟
  3 12 11 7
  1 1 6 4
㉟RΣTS= Aの両辺に左からR Tをかけ、右からS Tをかけると㊱になる。
R T RΣTS S T = R T A S T
ΣTS S T = R T A S T__㊱
この左辺のS S Tは、1,2行部分が単位行列で3行部分が0だから、㊱の左辺はΣTになる。
ΣT= R T A S T__㊲
㊲を問題文のPAQ= F3,4(r)と比較すると
F3,4(r)=ΣT,P= R T,Q= S T__㊳
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すみません。

特異値分解の話は無視してください。

近代科学社「スッキリわかる線形代数-解法テクニックつきー」のP127にやり方が書いてあります。それに基づいて計算します。

ただし、計算の前に基本変形をする必要があります。

基本変形の過程を詳しく書き下してください。
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一つ確認ですが、特異値分解は扱いましたか?

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この回答へのお礼

扱ってはいないのですが
ありがとうございます…!

お礼日時:2018/11/02 13:22

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