f_n(x)=e^(-nx)/n^2 g(x)=Σ[1,∞]f_n(x) とする。 g(x)は(0,

f_n(x)=e^(-nx)/n^2
g(x)=Σ[1,∞]f_n(x)
とする。

g(x)は(0,∞)上でC^1級であることを示し
lim(x→+0) (g(x)-g(0))/x=-∞

を示してください

質問者からの補足コメント

• C^1級であることを示すことと極限が∞に行くことがわかりません

    補足日時：2018/08/06 14:22

• g(x)は[0,∞)で一様収束してる事からわかりますし、fn(x)の導関数の級数が一様収束することが必要なのは分かりますよ

    補足日時：2018/08/06 18:56

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/08/07 12:06

g(x)を

ｙ＝e^(-x)、h(y)＝Σ[1,∞](y^n)/n^2 　の合成関数と見れば
C^1級はすぐ出ます。
極限の方は
g(x)が0≦x＜1　で連続で　0＜x＜1で微分可能だから0＜x＜1ならば平均値の定理より
(g(x)-g(0))/x＝g’(c)　0＜c＜xとなるようなｃが存在します。
これと合成関数を実際微分すれば0＜ｃ＜1で
g’(ｃ)がlog(1-ｙ)、ｙ＝e^(-ｃ)という因数を持つので、
lim(x→+0) (g(x)-g(0))/x=lim(ｃ→+0)g’(ｃ)＝-∞　です。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/06 15:08

逆にどこまでわかっているんだろうか.

まずそもそもとして, この g(x) が「[0, ∞) で関数として定義できている」かどうかはわかりますか? あと, ある関数が「C^1級である」ことを示すためにはどのような性質が言えればいいかわかりますか?

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/08/06 00:04

どこが分からないのですか？