数学１の背理法の問題について

数学１の問題で以下のようにあります。

√5は無理数であることを証明せよ。

この時、模範解答では、

1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m, nを用いて、√5=m/nと表されるとあります。

ここで質問です。

1以外の正の公約数を持たない2つの自然数を使う理由は、約分できる数を除外するためとあるのですが、ここがいまいち腑におちません。

なぜ1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m, nを用いて√5=m/nと表すのでしょうか？

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/13 10:37

模範解答の続きを読んでみましょう。

結論にｍとｎが1以外の正の公約数を持たない事に矛盾するから、仮定「1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m, nを用いて、√5=m/nと表される」が間違っていたと言え、√５は無理数という事ができる。このようになっていると思います。

模範解答の要領で証明を進めると、「m,nは1以外の正の公約数を持たない」としても「m,nは1以外の正の公約数を持つ」としても、終盤でｍとｎは共に５の倍数である・・・①。と言うところまでは一緒です。
でも仮に（仮にですよ！！！）
1以外の正の公約数を持たない2つの自然数３, ７を用いて、√5=７/３と表せるとします。
このとき√5=35/15でもあるので、1以外にも公約数を持つ2つの自然数m=35とn=１５を用いた場合、①より先に進めることができますか？ｍ=35もｎ=15も５の倍数に設定してしまったので、公約数が5となり矛盾点を見つけることが難しい。

そこで矛盾点をつきやすい、1以外の正の公約数を持たない2つの自然数N(=３), M(=７)を用いるわけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/08/14 10:13

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/08/13 10:38

1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m, nを用いて√5=m/nと表すのでしょうかって、そうしないと√5=m/nと置けないし、有理数と置けないからです。

約分済みの自然数の分数m/nとでも書けばよいのでしょうか。そのような文章を先生は格好悪いので書きません。
但し（ｎ≠０）そうすれば
√5ーm/n＝０で両辺を2乗すれば
５＋(ｍ/n)²－２√5m/n＝０
√5＝（５＋(ｍ/n)²）＊ｎ/２ｍで√5は有理数になって、命題と矛盾するので√5は無理数であることが証明されます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/08/14 10:12

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/08/13 12:49

公約数が有る/無いで揉める必要は有りません。

有っても、なくても「素因数分解の一意性」定理で、スパっと証明出来る。

√5=a/bと書けたと仮定する（a,bに公約数が有っても構わない)

両辺を2乗すると5=a²/b²
∴a²=5b²

この形より、素因数5は左辺には偶数個、右辺には奇数個。
それが=で結ばれることは無い。

∴√5=a/bとは書けない

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/08/14 10:13

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/08/13 13:15

>なぜ1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m,

>nを用いて√5=m/nと表すのでしょうか？

有理数の定義だから、というのも有りますが、大事な点は「何故」ではなく、それが「可能である」ということ。公約数で両者を割って行けば必ず行き着く先はそうなる
という事実です。これは間違いない真理です。

ところが√5を有理数とするとこれが成り立ちません。
√5の分母と分子は必ず公約数5を必ず持ちます。
約分しても無駄なあがきなんです。√5を整数比で表せると
すれば必ずそうなるからです。

そんな数あるはず有りませんから、仮定が
間違っているのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/09/11 14:25

No.5 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/08/15 11:37

＞なぜ

単に証明を単純化するためだけです。