置換積分法について間違ってたら教えてください。僕のイメージとして置換積分は原子関数F(x)をxで

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質問者：kaifishing
質問日時：2018/08/19 13:19
回答数：4件

置換積分法について
間違ってたら教えてください。

僕のイメージとして置換積分は原子関数F(x)をxで微分するとf(x)となるようなF(x)を考えるのが困難なのでF(x)をtで微分した結果を考えてそこからF(x)を考えていくというイメージなのですが、そこで質問です。

写真の例題で√2x-1=tと置いてxに代入すると
1/2(t^4+t^2)
が出てきますがこれがF(x)をtで微分したものであるというのが納得いきません
何故こうなるのでしょうか？
日本語が下手ですみません。

積分してF(x)になる別の導関数を用いるんじゃないんですかね、、？

補足日時：2018/08/19 19:41
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回答 (4件)

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No.4

回答者： OTZ-STO
回答日時：2018/08/19 20:44

F(x)をtで微分するとき、xがtの関数でなかったら、dF(x)/dt=0となってしまいます。

補足の写真でなぜF(x)をtで微分できているのかというと、xをtの関数と見ているからです。
質問の例でいうと、x=(t^2+1)/2
というように、xはtの関数となっています。
つまり、F(x)をtで微分するというのは、F((t^2+1)/2)をtで微分するということです。
さっきの私の回答ではF((t^2+1)/2)をG(t)と書きました。
つまり、補足の
dF(x)/dt=dx/dt･dF(x)/dx=dx/dt･f(g(t))
はG(t)を使うと、
dF(x)/dt=dF((t^2+1)/2)/dt=dG(t)/dt=g(t)と書けます。(ここで最期に使ったg(t)は写真にあるg(t)とは違います。写真のg(t)は(t^2+1)/2のことです。)

そしてG(t)のtによる導関数であるg(t)にt=√(2x-1)を代入して、tの微分ではなくxの微分にするためにdt/dxをかけたものを私の回答ではf(x)としています。
補足の写真でもdx/dt･f(g(t))にt=√(2x-1)を代入してdt/dxをかけるとf(x)になります。

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No.3

回答者： stomachman
回答日時：2018/08/19 17:32

括弧を正しく付けて頂きたいもんですが、それはさておき。

> そこからF(x)を考えていく

いやそんな曖昧な話ではないが…
　f(x)がいきなり積分できないんで、ご質問の例では
　　f(x) = g(√(2x-1))
となるような関数g(t)を作って、さらに
　　h(t) = g(t) (dx/dt)
として、
　　F(x) = ∫f(x) dx =∫g(√(2x-1)) dx = ∫ h(t) dt = H(t) = H(√(2x-1))
とやった訳です。逆から辿ってみれば、
　　(d/dx)H(√(2x-1))
　　　= (d/dx)H(t)　　　　　< 合成関数の微分法を使って
　　　= (dt/dx) ((d/dt)H(t))
　　　= (dt/dx) h(t)
　　　= (dt/dx)( g(t) (dx/dt))　<逆関数の微分法 (dt/dx)(dx/dt)=1
　　　= g(t)
　　　= g(√(2x-1))
　　　= f(x)
ということ。「F(x)をtで微分」なんて出てきません。
　tを t(x) = √(2x-1) という関数として扱ったり、ただの独立変数tとして扱ったり、両者の見方の使い分けをしなきゃならんのが、分かりにくさの原因かも知れませぬ。