aを定数とする。２次関数f(x)＝x²＋2ax＋2a²の区間0≦x≦6における最大値をM、最小値をm

aを定数とする。２次関数f(x)＝x²＋2ax＋2a²の区間0≦x≦6における最大値をM、最小値をmとする。
（1）a＝-2の時、Mとmを求めよ
（2）（ア）放物線y＝f(x)の頂点を求めよ。
（イ）最大値Mを求めよ
（ウ）M＝26となるようなaの値を求めよ。
（エ）最小値mを求めよ


この問題の（2）の（イ）から分からないので教えてください！お願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2018/09/04 14:54

(2)㋐ は分かりますね。

f(x)=x²+2ax+2a²=(x+a)²+a² ですから、
　　　　頂点座標は (-a, a²) となります。

㋑　y=f(x) のグラフは、下に凸な放物線ですから、
　　x の範囲 0≦x≦6 の両端のどちらかが 最大値になる筈です。
　　f(0)=2a², f(6)=2a²+12a+36=2a²+12(a+3) です。
　　つまり、a+3>0 の時 f(0)<f(6) で、a+3<0 の時 f(6)<f(0) ,
a+3=0 の時 f(0)=f(6)=2a² となります。
　　　以上、整理すると、
　　　a>-3 の時：M=f(6)=2a²+12(a+3) 。
　　　a<-3 の時：M=f(0)=2a² 。
　　　a=-3 の時：M=f(0)=f(6)=18 。

㋒　上の式で、M=26 になるような a を計算すれば良いことになります。
　　・ 2a²+12(a+3)=26 の場合、→　a²+6a+5=(a+1)(a+5)=0 、
　　ここから a=-1, -5 ですが、条件 a>-3 より a=-1 。
・ 2a²=26 の場合、→　a²=13 →　a=±√13、条件 a<－３より a=-√13 。
　　以上合わせて、a=-1 又は -√13 。

㋓　㋐ で求めた頂点の x 座標が 条件の 0≦x≦6 の中にあれば、
　　頂点の y 座標が f(x) の最小値になります。
　　それ以外の場合は、f(0) 又は f(6) が最小値になります。
　　つまり、a>0 の時：m=f(0)=2a² 。
　　　　　　-6≦a≦0 の時：m=f(-a)=a² .
a<-6 の時：m=f(6)=2a²+12a+36 。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/04 09:39

（ア）f(x)＝x²＋2ax＋2a²を平方完成して

　　　f(x)＝（x＋a）²＋a²から
　　　頂点は（ｘ、ｙ）＝(－a、a²）
（イ）切片（ｘ＝０）２a²
　　　ｆ(6)=36+12a+2a²
　　　　a<0,a=0,a>0の場合に分けて
　　a<0の場合・・・①
　　　軸はｘ＝－a＞０、ｘ＝－２aでｘ＝０の２a²同じ値。
　　　ｆ（６）－ｆ（０）＝３６＋１２a
　　　　３６＋１２a＞０の時Ｍ＝36+12a+2a²（ｘ＝６）
　　　　３６＋１２a＝０の時Ｍ＝2a²（ｘ＝０と６）
　　　　３６＋１２a＜０の時Ｍ＝2a²（ｘ＝０）
　　　　a＝0の場合Ｍ＝０
　　　　a>0の場合
　　　　軸はｘ＝－a＜０、ｘ＝－２a＜０でｘ＝０の２a²同じ値。
　　　　最小はｘ＝０で２a²、最大はＭ＝36+12a+2a²（ｘ＝６）・・・②
（ウ）Ｍ＝２６となるのは
　　　①、②から36+12a+2a²か2a²
　　　36+12a+2a²＝２６の場合（a<0かa>0)
　　　10+12a+2a²＝０⇒（a+5)(2a+2)=0,a=-5,-1,
a<0で３６＋１２a＞０の条件を満たすのはa=-1
2a²=26の場合（a<0)
　　　　 a²=１３、a=±√１３からa=-√１３(３６＋１２a＜０を満たす）
　　　よって、a=ー１、ー√１３

(ウ）最小値m＝a²＝（－１）²＝１

です。