(1)θ=36°のとき、cos2θ=−cos3θが成り立つことを示せ。 (2)cos36°の値を求め

(1)θ=36°のとき、cos2θ=−cos3θが成り立つことを示せ。
(2)cos36°の値を求めよ。

解説よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/09/05 21:20

cos72°=cos(-72°)=-cos(180°-72°)=-cos108°=-cos3θ　　←　cos(π±x)=-cosx　の公式･cosの性質を利用するだけです

∴cos2θ=-cos3θ

cos2θ　=　-cos3θ　①に
ここで、3倍角の公式　cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ　➁
倍角の公式　cos2θ=2(cosθ)^2-1　③
を適用する　3倍角の公式は加法定理などを使い導出出来る

2(cosθ)^2-1　=　-(4(cosθ)^3-3cosθ)
-4(cosθ)^3　-　2(cosθ)^2　+　3cosθ　+　1=0
4(cosθ)^3　+　2(cosθ)^2　-　3cosθ　-　1=0　←　cosθ=-1の時,左式は0になり、(cosθ+1)が因数の一つだと判る。cosθ=-1,θ=180°であり、求める解ではない、
(cosθ+1)・(4(cosθ)^2　-　2(cosθ)　-　1)=0　となり、2次式の方に解がある。2次式に解の公式を適用する

cosθ=(2±√(4+16))/(2・4)
=(1±√5)/4
但し(1-√5)/4<0　であり　cos36°>0　とは異なるのでこれも解ではない
∴cos36°=(1+√5)/4　答え　cos36°=(1+√5)/4

(2)　は　cosθ　を式で捻り出してからも計算が面倒くさいです

この回答へのお礼

すごく分かり易かったです！！
ありがとうございます！

お礼日時：2018/09/06 01:35

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/09/05 20:56

(1)θ=36°より、180°－2θ=3θが成り立つ。

よって、cos2θ=－cos(180－2θ)=－cos3θとなり成立。

(2)cos2θ=－cos3θを２倍角の公式、３倍角の公式を用いてcosθについての方程式にする。

答え：cos36°=(1＋√5)/4