71ですが三次の解と係数との関係を用いずにとくことは出来ませんか？

71ですが三次の解と係数との関係を用いずにとくことは出来ませんか？

No.1 回答者： 酪酸納豆 回答日時： 2018/09/19 21:58

具体的に求めればできるでしょうね。

この回答へのお礼

それ以外はありませんかね

お礼日時：2018/09/19 22:05

No.2 回答者： ko-papa 回答日時： 2018/09/19 23:20

解と係数の関係を使わない方法は分かりませんが、公式を覚えたくないことが質問の理由ならば、解と係数の関係式はその場で自分ですぐ出せるので、それを使うのが一番速いと思いますよ。

3番目は、x^3=2x^2-x+1で二次以下の式に変形して、1番目と2番目の答えを代入するのが良いと思います。念のため。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/09/19 23:38

解と係数との関係を用いないということは、解と係数との関係を用いた解法だけでなく、解と係数との関係を利用したカルダノの公式、ラグランジェの解法も使用できません。

三角関数、逆三角関数を用いたピエタの解も一部解と係数との関係を用いますし、そもそもピエタの解は三角関数、逆三角関数で正確な値を出さないといけないため、更に困難になります。

よって、事実上無理です。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/09/20 00:04

題意より　(xｰα)(x-β)(x-γ)=x³-2x²+x-1・・・①

①にx=1を代入
(１ｰα)(１-β)(１-γ)=(1-α-β＋αβ)(1-γ）=1-α-β-γ+αβ＋αγ＋βγーαβγ=-1・・・②
①にx=-1を代入
(-１ｰα)(-１-β)(-１-γ)=(1+α+β＋αβ)(-1-γ)=-1-α-β-γ-αβ-αγ-βγーαβγ=-5・・・③
ｘ＝０代入
-αβγ=-1・・・④
②+③より
2(-α-β-γ)-2αβγ=-6・・・⑤
⑤に４を代入
2(-α-β-γ)ｰ2=-6
∴α+β+γ=２…⑥
⑥の両辺2乗
α²+β²+γ²+2αβ＋2αγ＋2βγ＝４…⑦
②-3より
2+2αβ＋2αγ＋2βγ=4
⇔2αβ＋2αγ＋2βγ=2…⑧
⑧を７に代入
α²+β²+γ²+２＝４
⇔α²+β²+γ²=2…⑨
ここまで、④⑥⑧から解と係数の関係で求まる3式の値が求まっているから
α³+β³+γ³の求め方は、解と係数の関係を利用する場合と同様にして求められます。（ということで省略）

No.5 回答者： ibm_111 回答日時： 2018/09/20 13:44

解と係数との関係を用いず、カルダノの公式、ラグランジェの解法、ヴィエタもアウトとなると、相当困難な縛りプレイですね。

とりあえず思いついたのは、

・数値的に解く。
　3次方程式をニュートン法か何かで解いて、代入する。
　難点は、厳密な値が出ない。

・数式処理ソフトを使う。
　内部的には解と係数の関係を使ってるでしょうが、実際に何をやってるのかは不明なので、
　「使ってるのはソフトであって、解と係数の関係じゃないです！！」
　と言い張れば、セーフ？

ぐらいですかね。