この問題の解き方なんですが、x=i を代入すると教えて貰ったのですが、なんで i なんですか？ 質問

この問題の解き方なんですが、x=i を代入すると教えて貰ったのですが、なんで i なんですか？

質問の内容が分かりずらくてすみません。


ちなみにその時の回答はこうです（途中省略）。

x^2011 = (x^2+1) + Q(x) + ax+b
x = i を代入すると i^2011 = (i^2+1) + ai+b
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
　 　a = −1 b = 0

∴　余りは −x 　....（答）

質問者からの補足コメント

• 最初文章おかしくなりましたすみません

    補足日時：2018/09/29 21:11

• みなさん回答本当にありがとうございます！！
  解答の所の式間違えてましたねすみません
  あと、途中省略したのはただの計算だからです面倒くさがりでごめんなさい
  
  springsideさんのいう商を考えなくていいというのはmagimelon37さんの回答にあるように i^4 は 1 となり 1 × i^3 となりるからですか？そういう理由ならなんだかわかった気がします！

    補足日時：2018/09/30 12:51

• そしてもう1つすみません、余りは1次式と決めつけてはいけないと回答してくださった方がいますが、x^2011 を x^2+1 の余りは1次式だと置くことが出来ないのはなんでですか？私は出来ると思っていました。
  （ そう考えたのは x^2011 を x^2+1 で割っていって例えば(例えばですよ！) x^2+3x+1 となったら 余りは 3x となる....みたいな。）
  今回の質問とはそれてしまいますが気になったので....
  
  みなさん本当に丁寧にありがとうございます....！！

    補足日時：2018/09/30 12:52

• majimelon37さん スペルミスです泣

    補足日時：2018/09/30 12:54

• だから決めつけては、いけないとかかれていたんですね！ありがとうございます！

    補足日時：2018/09/30 13:26

• 皆さんたくさん力になっていただき本当にありがとうございます！！助かりました！

    補足日時：2018/09/30 18:12

No.6 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/09/30 16:37

>>springsideさんのいう商を考えなくていいというのはmagimelon37さんの回答にあるように i^4 は 1 となり 1 × i^3 となりるからですか？

こういうことです。

x²⁰¹¹をx²+1で割った商をQ(x)とおく。また、余りは1次以下（注：1次と書いてはだめ。1次以下と書く）の式だから、ax+bとおける。
すると、x²⁰¹¹=(x²+1)Q(x)+ax+bとなる。
このとき、Q(x)はどんな式か判らないが、x²+1=0になるようなx、つまり、x=iを両辺に代入すると、
i²⁰¹¹=(i²+1)Q(x)+ai+b
i²⁰¹¹=ai+b　←i²=-1だから、i²+1=0となって、Q(x)が消える。　①

同様に、x=-iを代入すると、
(-i)²⁰¹¹={(-i)²+1}Q(x)-ai+b
-i²⁰¹¹=-ai+b　←x=-iの場合でも、(-i)²=i²=-1だから、i²+1=0となって、Q(x)が消える。　②

ここで、i²=-1、i³=-i、i⁴=-i²=1だから、i²⁰¹¹=i^(2008+3)=i^(4×502+3)=i^(4×502)×i³=(i⁴)⁵⁰²×i³=1⁵⁰²×(-i)=-i
よって、
①より-i=ai+b、②よりi=-ai+bとなる。これらからa、bを求めると、a=-1、b=0

よって、余りは-x…答

-----------------------------------------------------------------------------
ポイント：　1：Q(x)が消えてしまうように、xを上手く決めて両辺に代入すること。
　　　　　　2：iについては、i¹=i、i²=-1、i³=-i、i⁴=-i²=1、i⁵=i^(4+1)=i⁴×i¹=i、i⁶=i^(4+2)=i⁴×i²=1×(-1)=-1というように、iの累乗は、4つごとに循環することを利用すること。

No.7 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/30 17:33

そしてもう1つすみません、余りは1次式と決めつけてはいけないと回答してくださった方がいますが、＞

余りが0次式になる可能性があるということです。
余りをax+bと置くことはできるが、1次式と決めつけるとa≠0ときめつけることになるので、いけない。a=0の可能性もあるので、1次以下というのが正確だ。
実際、問題がx^2011 の代わりにx^2010 またはx^2の場合は、
余り=－1は0次式になる。

No.5 回答者： 零化イデアル 回答日時： 2018/09/30 13:24

x の 2011 次式を x の 2 次式で割る場合,

(1) 割り切れる
(2) 余りは定数
(3) 余りは x の 1 次式
これら 3 パターンがあります.
余りが x の 1 次式であるかどうかは, きちんと調べてからでないと, 何ともいえません.
余りを ax + b とおくことは可能ですが, これが x の 1 次式だという保証はありません.

No.4 回答者： springside 回答日時： 2018/09/30 11:12

端的に言うと、x=iのときには（xにiを代入すれば）商を考えなくてもいいから。

No.3 回答者： 零化イデアル 回答日時： 2018/09/30 07:12

ℤ[x], ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x], いろいろありますが.

どの範囲で考えている問題なのか, はっきりしません.
g(x) = x² + 1 は最高次の係数が 1 なので, 商 q(x) と 余り r(x) はどちらも ℤ[x] の元になります.
ただ, これは高校数学では習いません.
ℚ[x] と ℝ[x] はユークリッド整域なので, そこまで広い範囲で考えれば, 十分という気もしますが.
しかし, この問題で商 q(x) と余り r(x) = ax + b が ℝ[x] の元であることを「証明」しろといわれれば, 簡単ではないでしょうね.
かといって, 実際に x^2011 を x² + 1 で割って商と余りを求めるのは, 非現実的です.
ℂ が代数閉体であることに敬意を表して, ℂ[x] での話としましょう.

f(x) = x^2011 を x² + 1 で割った商を q(x), 余りを r(x) = ax + b とします.
ここで, f(x) = x^2011, x² + 1, q(x), r(x) = ax + b ∈ ℂ[x] と考えます.
f(x) = x^2011 = (x² + 1)q(x) + ax + b ですが, この時点では a ≠ 0 が正しいかどうか確認できていません.
よって, 余り r(x) = ax + b を「1次式」と決め付ければ, 必ず減点されます.
f(i) = -i = ai + b
f(-i) = i = -ai + b
辺々加えて 0 = 2b, よって b = 0
これより a = -1
よって, 余り r(x) = ax + b = -x となります.

以下のように変形すれば, 剰余の定理が使えます.
f(x) = x^2011 = (x - i){(x + i)q(x) + a} + ai + b = (x + i){(x - i)q(x) + a} - ai + b
もちろん, f(i) = -i = ai + b, f(-i) = i = -ai + b と, 先ほどと同じ結果が得られます.

なぜ x に i を代入するかといえば, i が x² + 1 の根だからです.
x に -i を代入する理由も, まったく同じです.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/09/29 23:35

ちょっとその「証明」の「途中省略」の部分が気になる.

剰余の定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99 …
をきちんと使ってればいいけど, 変なことをすると #1 のように落とし穴を残すことになるので注意だねぇ.

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/29 22:58

整式ｘ^2011をx^2＋１で割った余りを求めよ。

ｘ^2011をx^2＋１で割った余りは１次式になるからax+bと置く。
ｘ^2011をx^2＋１で割った商をQ(x)とすると
x^2011 = (x^2+1) Q(x) + ax+b＿＿①
(注意x^2011 = (x^2+1) + Q(x) + ax+bは間違い。＋記号１カ所は不要)
x = i を代入すると左辺は
ｉは4乗すると1になり、消すことができるので
2011÷4＝502余り3　だから、余りの３回分だけの掛け算になるので
左辺= i^2011= i^3=－ｉ＿＿②
右辺は(x^2+1)のxにｉを入れると、x^2+1=ｉ^2+1=－1+1=0
式①の右辺で(x^2+1) Q(x)は0×Q(x)だから0となる。
式①の右辺= ax+b=aｉ+b＿＿③
②③から－ｉ=aｉ+b
a=－1，b=0
余りax+b=－xが答え