x、yが自然数であるとき x+y=√x+√y+√xyを満たすx、yの組を求めよお願いします、

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質問者：。山田太郎。
質問日時：2018/09/30 23:32
回答数：2件

x、yが自然数であるとき
x+y=√x+√y+√xyを満たすx、yの組を求めよ

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： bravehokkaido
回答日時：2018/10/01 01:13

両辺を√(xy)で割ると、

(√x)/(√y)+(√y)/(√x)=1/(√x)+1/(√y)+1となる。

相加・相乗平均の関係より、(√x)/(√y)+(√y)/(√x)≧2より、1/(√x)+1/(√y)≧1となる。

x≦yとして考えても一般性を失わないので、1/(√x)+1/(√x)≧1/(√x)+1/(√y)≧1より、2/(√x)≧1となる。よって、x≦4であることが分かる。

1)x=1の時、1+y=1+2(√y)より、y=2(√y)なので、両辺を2乗するとy^2=4yとなり、x≦yよりy=4。なので、x=1、y=4の時は等式を満たす。

2)x=2の時、2+y=√2+(√y)+√(2y)。これを少し変形すると2+y=√2+(√y)(1+√2)となり、2－√2+y=√y(1+√2)なので、両辺を2乗すると

y^2＋4y+6－(2y+4)√2=3y+2y√2より、y^2＋y＋6＝(4y+4)√2となります。左辺は整数なので、右辺も整数にするには4y+4=0を満たさないといけないですが、これを満たす自然数yはありません。なので、x=2の時の解はないです。

3)x=3の時はx=2の時と同じ方法で確認してください。x=3の時の解も同様の理由でありません。

4)x=4の時、4+y=2+√y+2√yより、2+y=3√yなので、両辺を2乗するとy^2+4y+4=9yより、y=1,4となりますが、x≦yと今は仮定しているので、(x,y)=(4,4)です。

なので、x≦yの条件を外して考えてみると1)～4)より(x,y)=(1,4)、(4,1)、(4,4)となります。