行列について 逆行列が存在すれば求めよう という問題で (3 -1 1) (1 5 3) (2 -4

行列について
逆行列が存在すれば求めよう
という問題で

(3 -1 1)
(1 5 3)
(2 -4 -1)

は逆行列を持たないと書いてありました。
どのように見分けるのでしょうか？
バカでもわかるように説明お願いします。

また
(0 1 1 1)
(1 0 1 1)
(1 1 0 1)
(1 1 1 0)

の逆行列を求めたところ

(-2 1 1 1)
(1 -2 1 1)
(1 1 -2 1)
(1 1 1 -2)
になりました。

しかし回答には行列の前に-1/3がついていました。
どのようにして-1/3をだしたのでしょうか？

2×2行列のように
1/ad×dc（行列）のような式を使うのでしょうか？（毎回やらないといけないの？楽な方法あったらお願いします。）
だとしたらものすごく長い式になると思います。覚え方などありますか？
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• テストなどではやはりサラスの公式を覚えて解くものでしょうか？

    補足日時：2018/10/22 10:38

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2018/10/24 20:48

行列式の多重線形性と交代性を使うといいよ。

行列式の計算ではよく使う。

実際、第一列に第二列を加えると t[2 6 -2] となって第三列の2倍になる。
これにより行列式の値は0とわかる。



掃き出し法でやったら、途中、行を３で割ることになった。最終的に、右側の成分はどれも分母が3の分数になった。
だから、1/3 か -1/3 でくくって見やすくしたというわけ。
あなたの行列だと 1/3 だけど。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/22 12:06

サラスは簡単なので覚えておくべきでしょう。

余因子展開で3×3→2×2を3つでも出来ますか
めんどくさい。

サラスは外積を覚える時も便利。

後、掃き出し(ある行のn倍を他の行に足すとか)は行列式を変えないので、
掃き出しで0を増やしてから余因子展開も吉

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/22 08:58

(1)逆行列を持たない≡行列式は0 なので

行列式を求めればよい。
3×3ならサラスの公式

(2)見たところ余因子行列なので、質問の中に有るように
行列の行列式で割ると
逆行列になる。4×4の行列式は
余因子展開で4個の3×3小行列式の計算に分解するのが普通。
少々計算が大変です。

>だとしたらものすごく長い式になると思います。覚え方などありますか？

無いです。4×4以上はそろそろ計算機を使わないと非効率。