微分方程式について質問です。 画像の微分方程式が解けなくて困っています。 x,Aは定数です。 こちら

微分方程式について質問です。
画像の微分方程式が解けなくて困っています。
x,Aは定数です。

こちらにも問題を書くと、
(d/dt)^2*θ=A*x*sinθ/(1+x^2-2*x*cosθ)^(3/2)
初期条件: t=0 で θ=π/2, dθ/dt=0

です。

ヒントでもいいですので、どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/12 10:36

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²－2xcosθ} ³＿＿①

初期条件t=0で、θ＝π/2，dθ/dt=0

2階微分の式を１回は解析的に積分できて簡単化できるが、2回目は解析的に積分できない。

①を積分すると
dθ/dt=∫Axsinθdθ/√(1+x²－2xcosθ) ³＿＿②
cosθ=u＿＿③
と置いて、置換積分を行う。③を微分すると－sinθdθ=duとなるから、②は④となる。
dθ/dt=－∫Axdu /√(1+x²－2xu)³＿＿④
=－A/x√(1+x²－2xu)+C=(－A/x)/√(1+x²－2x cosθ)+C＿＿⑤
⑤に初期条件を入れると、t=0でθ＝π/2，cosθ=0，dθ/dt=0だから
0=(－A/x)/√(1+x²)+C
C=(A/x)/√(1+x²)
⑤は
dθ/dt=(－A/x)/√(1+x²－2x cosθ)+(A/x)/√(1+x²)
=(A/x){1/√(1+x²)－1/√(1+x²－2x cosθ) }
∫√√{1+x²－2xcosθ}dθを解析的に積分することはできないので、数値積分が必要になるが、もとの2階微分の式より簡単化されている。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/12 18:52

No.2です。

こねくり回しているうちに間違えてしまったので、書き直した。

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²－2xcosθ}³＿＿①
初期条件t=0で、θ＝π/2，dθ/dt=0

(dθ/dt)²をtで微分すると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²＿＿②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²－2xcosθ}³＿＿③
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²－2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²－2xcosθ}³＿＿④
cosθ=u＿＿⑤
と置いて、置換積分を行う。⑤を微分すると－sinθdθ=duとなるから、④は⑥となる。
(dθ/dt)²=－∫2duAx/√{1+x²－2xu}³＿＿⑥
=－2A/√(1+x²－2xu)+C=－2A/√(1+x²－2x cosθ)+C＿＿⑦
Cは積分定数である。
⑦に初期条件を入れると、t=0でθ＝π/2，cosθ=0，dθ/dt=0だから
0=－2A/√(1+x²)+C
C=2A/√(1+x²)＿＿⑧
⑦は⑨となり、dθ/dtは式⑩となる。
(dθ/dt)²=－2A/√(1+x²－2x cosθ)+ 2A/√(1+x²)
=－2A{1/√(1+x²－2x cosθ)－1/√(1+x²)}＿＿⑨
dθ/dt=√(－2A)√{1/√(1+x²－2x cosθ)－1/√(1+x²)}＿＿⑩
式⑩は変数分離型の1階微分方程式だから
dθ/√{1/√(1+x²－2x cosθ)－1/√(1+x²)}=√(－2A)dt＿＿⑪
これを積分すると
∫dθ/√{1/√(1+x²－2x cosθ)－1/√(1+x²)}=∫√(－2A)dt=√(－2A)(t+c)＿＿⑫
cは積分定数である。初期条件を入れると、c=0である。
左辺の∫dθ/√{1/√(1+x²－2x cosθ)－1/√(1+x²)}を解析的に積分することができないので、数値積分が必要になるが、もとの2階微分の式より簡単化されている。
t=0のとき、積分の中が1/0=∞となるので、もう少し解析が必要である。
とりあえず、間違いの訂正をする。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2018/11/09 02:35

解析解があるとは思えないので、どうしても解が知りたいのなら数値解を求めるしかないでしょうね。