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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ} ³__①
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0
2階微分の式を1回は解析的に積分できて簡単化できるが、2回目は解析的に積分できない。
①を積分すると
dθ/dt=∫Axsinθdθ/√(1+x²-2xcosθ) ³__②
cosθ=u__③
と置いて、置換積分を行う。③を微分すると-sinθdθ=duとなるから、②は④となる。
dθ/dt=-∫Axdu /√(1+x²-2xu)³__④
=-A/x√(1+x²-2xu)+C=(-A/x)/√(1+x²-2x cosθ)+C__⑤
⑤に初期条件を入れると、t=0でθ=π/2,cosθ=0,dθ/dt=0だから
0=(-A/x)/√(1+x²)+C
C=(A/x)/√(1+x²)
⑤は
dθ/dt=(-A/x)/√(1+x²-2x cosθ)+(A/x)/√(1+x²)
=(A/x){1/√(1+x²)-1/√(1+x²-2x cosθ) }
∫√√{1+x²-2xcosθ}dθを解析的に積分することはできないので、数値積分が必要になるが、もとの2階微分の式より簡単化されている。
No.3
- 回答日時:
No.2です。
こねくり回しているうちに間違えてしまったので、書き直した。d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__①
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0
(dθ/dt)²をtで微分すると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²__②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__③
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__④
cosθ=u__⑤
と置いて、置換積分を行う。⑤を微分すると-sinθdθ=duとなるから、④は⑥となる。
(dθ/dt)²=-∫2duAx/√{1+x²-2xu}³__⑥
=-2A/√(1+x²-2xu)+C=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+C__⑦
Cは積分定数である。
⑦に初期条件を入れると、t=0でθ=π/2,cosθ=0,dθ/dt=0だから
0=-2A/√(1+x²)+C
C=2A/√(1+x²)__⑧
⑦は⑨となり、dθ/dtは式⑩となる。
(dθ/dt)²=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+ 2A/√(1+x²)
=-2A{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑨
dθ/dt=√(-2A)√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑩
式⑩は変数分離型の1階微分方程式だから
dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=√(-2A)dt__⑪
これを積分すると
∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=∫√(-2A)dt=√(-2A)(t+c)__⑫
cは積分定数である。初期条件を入れると、c=0である。
左辺の∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}を解析的に積分することができないので、数値積分が必要になるが、もとの2階微分の式より簡単化されている。
t=0のとき、積分の中が1/0=∞となるので、もう少し解析が必要である。
とりあえず、間違いの訂正をする。
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