下図のような、質量がそれぞれM、3Mをつないで一本の棒にした時、全体の重心が点Aから距離l(スモール

下図のような、質量がそれぞれM、3Mをつないで一本の棒にした時、全体の重心が点Aから距離l(スモールエル)のlを求める問題で、
ABの重心は、2Lを3M:Mで内分する点だということで、2L×3M/(3M+m) という考えだと答えが合いませんでした。
(もう一つ、同様にAOの重力MgがAからL/2の位置でかかり、BOの重力3MgがAから3L/2の位置でかかるので(L/2×M+3/2L×3M)/(3M+M) の考えは合っていたのですが。
ちなみに答えは、A周りのモーメントと重心のモーメントが等しい という考えでした。)

すみません、ミスを指摘してください。
考え方は、次にある問題のAに重りをつけた場合の求め方と同じなので間違っていないと思っているのですが違うのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• すみません。それと、重力が働いているとみなすその物体の作用点(？)を質点とみるのは問題ないでしょうか。質量の偏りがない場合は重心は物体の中心ですよね。

    補足日時：2018/11/11 01:59

• あ、全体の長さが2Lだと思っているのが過ちだったのですね！ありがとうございます。
  しかし、そうだとするとLで計算した場合も合わないのですが、どう考えたらいいのでしょうか。
  一応、Lを3M:Mに内分していると言えますよね。

    補足日時：2018/11/11 02:59

• いえいえ、A原点の時はどうなるのか知りたいのです。

    補足日時：2018/11/13 13:22

• 長々と付き合ってくださりありがとうございます！

    補足日時：2018/11/16 20:48

No.1 ベストアンサー 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/11/11 02:17

なぜダメかと言うと、質量 M は位置 - L/2 に作用し、質量 3M は位置 + L/2 に作用しているのに、幅 2L を内分しているから、です。

No.6 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/11/13 20:24

点 A を原点にするなら、

M (0 - Xg) + 3M (+3L/2 - Xg) = 0

No.5 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/11/11 16:37

だからさ、

- L/2 + L×3M/(M+3M) = -L/2 + 3L/4 なんだって。
やっぱり貴方、この式の意味を理解できていないみたいですね。

重心の座標を Xg とする時、シーソーを考える。
片方の質量は M で座標 - L/2 ある。
他方の質量は 3M で座標 +L/2 である。
この時に、モーメントの釣り合いの式を計算したら

M (-L/2 - Xg) + 3M (+L/2 - Xg) = 0

No.4 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/11/11 10:00

L を 3:1 に内分しているから、点 O を x = 0 とすると重心座標は

x = - L/2 + 3L/4
なんだけど、あなた理解できてますか？

この回答へのお礼

はい。その計算式は理解しているのですが、
L×3M/(M+3M)
が成り立たないのは、OAの重力の位置を原点とした時に座標が変わるからですか？
この式は間違っているのでしょうか。

お礼日時：2018/11/11 11:49

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/11 08:47

ANO2 です。

添え字がおかしいのでもう一回(^^;

Xg1 = ｛Σmai・xai}/Σmai (i=1～na)

Σmai = M

同様に BOをを微小な質点(質量mai, 位置xai)nb個の集まりと考えると、重心は

Xg2 = ｛Σmbj・xbj｝/Σmbj (j=1～nb)

Σmbj = 3M

全体の重心は同様に
Xg = ｛Σmai・xai + Σmbj・xbj}/{Σmai + Σmbj}
= {Xg1・M + Xg2・3M}/(M+3M)


ちなみに重心とは、OAの場合、

基準点(この場合はA)に対する重力によるトルク {Σmai・xai}g
と
基準点に対し、質量Σmaiの質点が 位置 Xg1に有る場合のトルク Σmai・Xg1・g
が等しい場合の Xg1 のことで

{Σmai・xai}g = Σmai・Xg1・g
Xg1 = {Σmai・xai}/Σmai

これを Xg1, g(任意方向), xai がベクトルの場合に拡張すると、
Xg1 = {Σmai・xai}/Σmai
は重力の方向に依存しない重心の定義となります。

剛体は、この質点の集合で考えるという手法を使うと、様々な法則を
簡単に求められますよ。

この回答へのお礼

なるほど、重心は質点の集合で考えられていたんですね！平均の場所みたいな感じでしょうか。詳しくありがとうございます！

お礼日時：2018/11/11 11:47

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/11 08:24

基本に戻って考えましょう。

Aを座標の原点としてそこからの距離をx,
AOを微小な質点(質量mai, 位置xai)na個の集まりと考えると、重心は

Xg1 = ｛Σmai・xai}/Σmai (i=1～na)

Σmai = M

同様に BOをを微小な質点(質量mai, 位置xai)nb個の集まりと考えると、重心は

Xg2 = ｛Σmbj・xbj｝/Σmbj (j=1～nb)

Σmbi = 3M

全体の重心は同様に
Xg = ｛Σmai・xai + Σmbi・xbi}/{Σmai + Σmbi}
= {Xg1・M + Xg2・3M}/(M+3M)

つまり個々の2つの重心を 3:1 に内分する点が全体の重心です。
これはつまり、個々の重心の位置に、Mと3Mという質量の質点が
有るとして計算してよいということです。