線形写像

aをある平面ベクトルとし、任意の平面ベクトルｘに対してaとxの内積(a,x)を与える写像をｆとする。このときｆはR^2からRへの線形写像であることをしめしたいのですがどう証明したらいいのかわからないです。

No.3 ベストアンサー 回答者： mixchann 回答日時： 2004/11/15 21:36

＃１さんの指摘通り、内積の性質にもとづいて計算を実行すればよいと思います。

　
　いま、ｘ, ｙはＲ^２の任意のベクトル、λ は任意の実数とするとき、
　　ｆ(ｘ＋ｙ)＝(a,ｘ＋ｙ)＝(a,ｘ)＋(a,ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)
　　ｆ(λｘ)＝(a,λｘ)＝λ(a,ｘ)＝λｆ(ｘ)
従って、ｆ：Ｒ^2→Ｒ は線形写像です。

この回答へのお礼

内積については示し方がよく分からなかったので本当に助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2004/11/16 02:02

No.2 回答者： yaksa 回答日時： 2004/11/13 03:42

証明に関しては、＃１の方の通りですが、

実は、「内積」の線形性は定義だったりします。
つまり、線形写像でない「内積」というのは、ありえないわけです。

この回答へのお礼

内積と線形性にかかわりがあるとは知りませんでした。ありがとうございました。

お礼日時：2004/11/16 02:04

No.1 回答者： betagamma 回答日時： 2004/11/13 00:50

線形写像とは、線形な写像、です。

写像であることは、「写像をfとする」で、前提とされているので、線形であることを示せばいいのです。

f(x+y)=f(x)+f(y)
スカラー数pに対して
f(px)=pf(x)
を証明すれば、線形であることが示せます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
いろいろ調べてみて、
f(x+y)=f(x)+f(y)
スカラー数pに対して
f(px)=pf(x)
をしめせばいいは分かりました。
もしよろしかったら、具体的に示してもらえませでしょうか。

お礼日時：2004/11/14 14:59