クリアーという問題集の解き方がわかりません。65,66番の問題なのですが、65番は問題に並べ方と書い

クリアーという問題集の解き方がわかりません。65,66番の問題なのですが、65番は問題に並べ方と書いているので、順列で解くのかと思いましたが、組み合わせで解かないと答えが違います。66番は整数を作ると書いているのに組み合わせです。なぜこれらの問題は組み合わせなのでしょうか？

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/29 11:50

65,　a 4個,b 2個,c 3個の9文字すべてを1列に並べるとき、並べ方は何通りあるか。

66,　6個の数字1,1,1,2,2,3の全部を使って、6桁の整数を作るとき、次のような整数は何個作れるか。
6桁の整数　　6桁の偶数

これらの問題は、みな組合わせの問題だが、組合わせの問題は、順列によって解くので、実は、みな順列の問題なのである。
65は計算が複雑なので、もっと簡単な次の例をまず説明する。
a 2個，b 3個の5文字すべてを1列に並べるとき、並べ方は何通りあるか。
2個のaと3個のbに番号を付けて、a₁,a₂,b₁, b₂, b₃とする。
この5文字すべてを1列に並べると5！=120通りの並べ方がある。この120通りの中の
a₁,a₂を調べると、a₁が先に出て来る順列が60通りとa₂が先に出て来る順列が60通りある。
a₁,a₂を区別しないで、ただaと書くと、順列の数は60通りある。この60通りの中の
b₁, b₂, b₃を調べると、b₁, b₂, b₃の順に出るものとその他b₁, b₂, b₃の順列3！=6通りがある。
b₁, b₂, b₃を区別しないで、ただbと書くと、順列の数は60通り/6通り=10通りになる。
答えは60!/2!3!=10。
65は次のように解く。
4個のaに番号を付けて、a₁,a₂,a₃,a₄とする。
2個のbに番号を付けて、b₁, b₂とする。
3個のcに番号を付けて、c₁, c₂, c₃とする。
この9文字すべてを1列に並べると9！通りの並べ方がある。このすべての順列の中の
a₁,a₂,a₃,a₄を調べると、a₁,a₂,a₃,a₄の順に出るものと、その他a₁,a₂,a₃,a₄の順列4！=24通りがある。a₁,a₂,a₃,a₄を区別しないで、ただaと書くと、順列の数は9！/4！通りある。
この順列の中のb₁, b₂を調べると、b₁, b₂の順に出るものとb₂,b₁の順に出るものがある。
b₁, b₂を区別しないで、ただbと書くと、順列の数は9！/4！/2!通りになる。
この順列の中のc₁, c₂, c₃を調べると、c₁, c₂, c₃の順に出るものと、その他c₁, c₂, c₃の順列3！=6通りがある。c₁, c₂, c₃を区別しないで、ただcと書くと、順列の数は9！/(4！2！3！)通りになる。
答えは9！/(4！2！3！)=9･8･7･5/2=1260
66,　6個の数字1,1,1,2,2,3の全部を使って、6桁の整数を作るとき、整数は何個作れるか。
数字に番号をつけて1₁,1₂,1₃,2₁,2₂,3として、6桁の整数を作ると、６！通りの整数ができる。
1₁,1₂,1₃を区別しないで、ただ1と書くと、６！/３！=120通りの整数ができる。
2₁,2₂を区別しないで、ただ2と書くと、120/2！=60通りの整数ができる。
偶数を作るには、2を最後に置くから、最初の５文字は1,1,1,3の4文字の順列になる。
数字1に番号をつけて1₁,1₂,1₃, 3とし、この4個の順列を作り、2を付け加えれば、4!=24通りになる。
1₁,1₂,1₃を区別しないで、ただ1と書くと、4!/3!＝4通りになる。
大きさ順に書くと31112，13112，11312､11132の4通りである。

順列と組み合わせの公式を覚えるだけでなく、順列を使って組み合わせを解く方法を知ると、実力が付く。番号を付けてすべての順列を作り、その中を分類する方法は有力です。

この回答へのお礼

今さらですが、ありがとうございました！！お陰さまでテストで良い点数を取ることが出来ました！！

お礼日時：2018/12/09 09:39

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/28 15:10

数学では定義をよく読んで把握してください

順列についても「異なるn個のもののなかから異なるｒこを取り出して１列に並べることを順列という」
というような説明があると思います。
ですから本２問では同じものがある中から、いくつか取り出して並べるので順列になるとは限りません。

６５　考え方としては９文字を配置する場所を順に1から９とします。
この場所９か所の中からa４文字を置く場所を先ず選ぶとすると
9C4
残り５か所のうちｂ２こを置く場所を選ぶ方法が5C2
Cは残った３か所に自動的に配置されるので
これらのことから9C4x5C2=1260通り　
と考えるわけです。

６６も同様に考えます。

この回答へのお礼

今さらですが、ありがとうございました！！お陰さまでテストで良い点数を取ることが出来ました！！

お礼日時：2018/12/09 09:39