大学数学です。画像の積分がわかりません。分かる方がいたらご教授ください。

大学数学です。画像の積分がわかりません。分かる方がいたらご教授ください。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/11/28 22:24

(1)は、2/(a+1)³

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/11/28 22:29

(2)は、

・nが偶数のとき、0
・nが奇数のとき、π

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/29 10:55

(1) log(x) = u とおけば x = e^u なので

　dx/du = e^u
　x:0→1 のとき u:-∞→0
なので
　与式 = ∫[-∞→0]{ (e^u)^a * u^2 * (dx/du) }du
　　　= ∫[-∞→0]{ (e^u)^a * u^2 * (e^u) }du
　　　= ∫[-∞→0]{ (e^u)^(a + 1) * u^2 }du
　　　= ∫[-∞→0]{ e^(a + 1)u * u^2 }du
あとは部分積分でできます。
　　　 = ∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ]' * u^2 }du
　　　 = [ e^(a + 1)u * u^2 /(a + 1) ][-∞→0] - ∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ] * [u^2]' }du
　　　 = - [2/(a + 1)]∫[-∞→0]{ e^(a + 1)u * u }du
　　　 = - [2/(a + 1)]∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ]' * u }du
　　　 = - [2/(a + 1)][ e^(a + 1)u * u /(a + 1) ][-∞→0] + [2/(a + 1)]∫[-∞→0]{ [ e^(a + 1)u /(a + 1) ] * (u)' }du
　　　 = [2/(a + 1)^2]∫[-∞→0]{ e^(a + 1)u }du
　　　 = [2/(a + 1)^2][ e^(a + 1)u /(a + 1) ][-∞→0]
　　　 = 2/(a + 1)^3

(2) も同じように「部分積分」を使えばできるはず。

No.4 回答者： 確変 回答日時： 2018/11/29 21:53

(1) と (2), 両方解いてみたけど, 簡単すぎるかな.

(1) は部分積分に関しては楽勝なので, その広義積分が収束することの説明が, 得点できるかどうかの分かれ目.
で, (2) を解くのに部分積分って, 本当かな.
高校数学で習う sinA - sinB = ～ って公式を使うだけで, あっさり解けるんだけど.
部分積分を使った鮮やかな解法があるなら, それを実際に示してくれると, 質問者に親切だよね.