No.7
- 回答日時:
下の方に、「AP=BPのときが最小」という主張がありますが、その根拠はどのようなものでしょうか?
直観的にはそのように思えますが、実は、その主張は間違っています。
P(cosθ,sinθ)とおいて、AP+BP=√{(cosθ-√3/3)²+sin²θ}+√{(cosθ+√3/6)²+(sinθ-1/2)²}=f(θ)として、
f(θ)のグラフを描くと、添付画像のようになります(0≦θ≦2の範囲で書いています)。
(縦軸、横軸の数値に注意してください)
極大値の部分が、AP=BPのとき(つまり、Pが、ABに垂直に交わる直線と円との交点のとき)で、当然、これは最小ではありません。
f(θ)が最小になるのは、その極大値の左右にある極小値の部分です。
それはf'(θ)=0を解いて求めることができます。かなり面倒な計算ですが、一生懸命計算すると、f'(θ)=0になるのは、
θ=π/6、π/3、π/2のときということが判ります。
θ=π/6、π/2のときが極小値(かつ最小値)で、f(π/6)=f(π/2)=√3となります。
なので、求める答は、AP+BPが最小になるPの座標は(√3/2,1/2)、(0,1)で、最小値は√3ということになります。
ちなみに、極大値はf(π/3)=2√{(4-√3)/3}となり(この二重根号は外せません)、数値にすると1.7389457…となって、√3=1.7320508…
よりも大きいです(当然ですが)。
No.5
- 回答日時:
楕円を標準形で書けるように
点A'(1/2,0)、点B'(-1/2,0)
円の中心を(0,(-1/6)*√3)
として
円と楕円が接する条件で接点を求めて計算すると
AP+BP=√3 となりました
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楕円を補助にする。(長軸の長さが最小⇔2つの焦点からの和が最小)を使おうとしましたが、簡単に議論できそうな感じではありません。
曲線同士を比較することを嫌って詳しく見ていないのですが、
円と楕円が2点で内接している状態で、最小値をとるという感じなのでしょうか?
自分でも図を描いてみてその通りだと思いました。
ありがとうございます。
他によい方法はあるでしょうか?
少し高級でも(高校数学の範囲を超えても)よいのでアイデアだけでも教えてください。
回答ありがとうございます。
調べてみると、全く同じ問題で誘導で、「原点O以外の点Qに対して点Q´を→OQと→OQ´が同じ向きでOQ・OQ´=1を満たすようにとるとき、PQ対PQ´=OQ対1を満たすことを示せ」とあり、
この変換をA,Bに施しA´、B´がとれて折れ線≧線分から最小値√3を得るという流れのものがありました。
反転?をこうやって図形量の解析で使うと有効なのは初めて知りました。
奥深いですね。