cosxがx=0で微分可能を示せ という問題です。 教えてください。

cosxがx=0で微分可能を示せ
という問題です。
教えてください。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/12/27 07:45

微分可能→連続は正しいが

連続→微分可能は恒真じゃない。

なので、定義に戻って微分が収束するか判定するのが吉

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/12/26 21:51

否、y=|x| は x=0 に於いて連続であるが微分不能である。

y=f(x) が x=0 に於いて微分可能であるためには、
i> f(0) が値をもつ。
ii> lim[x→-0]=f(0)=lim[x→+0] である。つまり x=0 に於いて連続である。
iii> lim[h→-0]{f(h)-f(0)}/h =lim[h→+0]{f(h)-f(0)}/h
つまり、x=0 に於いて曲線 y=f(x) に y軸に平行でない接線が引ける。

ことを示す必要があります。

あとは頑張って...

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/12/26 21:21

関数 f(x) が x＝0 で微分可能である ⇔ lim(h→0) {f(0＋h)－f(0)}／h が存在する　である。

だから、その定義通りに計算してみる。

ところで、cos(x＋h)＝cosx・cosh－sinx・sinhであるから、
{f(0＋h)－f(0)}／h
＝{cos(0＋h)－cos0}／h
＝(cos0・cosh－sin0・sinh－cos0)／h　←ここに cos0＝1、sin0＝0 を代入する。
＝{(cosh－1)}／h
ここで h→0 とすると、(cosh－1)／h＝0 ※になるので、
f'(0)＝0となり、ある定数となる。つまり微分可能であることが証明された。

※ (cosh－1)／h＝0 の証明
(cosh－1)／h
＝(cosh－1)・(cosh＋1)／h・(cosh＋1)　←分子・分母に(cosh＋1)をかける。
＝{(cosh)^2－1}／h・(cosh＋1)
＝－(sinh)^2／h・(cosh＋1)
＝－(sinh／h)・(sinh／h)・{1／(cosh＋1)}・h
ここで h→0 に持っていくと、
→ －１・１・(１/２)・０
→ ０

No.1 回答者： head1192 回答日時： 2018/12/26 16:14

X=０で微分可能ということは、

ｘ＝０の点で連続であるということである。

この回答へのお礼

説明不足ですみません。
連続であることを示したくて、微分可能から行けばいいかなと思ったんです！
連続であることにしても微分可能であることにしても、示し方がわからなくて困ってます、、

お礼日時：2018/12/26 16:16