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√[ 1 + { 2/3 x - 1/(4x^2) }^2 ] の積分がどうしてもできません。
置換ならどの部分を置換すればよいか、教えて下さい。
または部分積分できますでしょうか。
それとも、もしかすると問題が間違っていて高校で習う関数では積分不可能ですか?

補足しておくと、元の問題は、画像にあるように線分の長さを求める問題です。
積分できなくて、もう何日も悩んでいます。

「この関数は積分できますか?(とても悩んで」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • No.6の方が示唆して下さった形で簡単に解けたので、「問題作成者が3乗を2乗に間違えて入力した」で結論づけて、友達には回答しますww
    みなさん、しょうもないことでお騒がせしてすみませんでした。
    またマトモな問題で、よろしくお願いします。

      補足日時:2018/12/30 18:49

A 回答 (7件)

#5


ごめん。x³/3+1/4xなら解いたことがありますが本問は2乗ですね。
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この回答へのお礼

2乗じゃなくて3乗なら、解けるのですね?!
問題作成者が3乗を2乗に間違えた可能性も微レ存でしょうか?!
自分もちょっと気になってきたので、3乗で計算できるか頑張ってみます!
ありがとうございました。

お礼日時:2018/12/30 17:16

2番の方のお礼にも書いたのですが、この問題自体があやしいんじゃないかとも思います。


(通信制高校のレポートで、こんな難問でるわけありませんよね)

私も同意見です。

1/(4x)
の部分が
1/4
なら解けると思います。
ただし、
√(1+t^2) の原始関数が
(t√(1+t^2)+log(t+√(1+t^2)))/2
となることが分からないと計算できない。

こうしても、通信制高校の問題としては難問過ぎると思います。
元の問題は更に難しいので、私なら計算機を使って数値計算します。

共立出版 小寺平治 著 明解演習 微分積分 の 73ページ 参照
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この回答へのお礼

元の問題があったのですね!わざわざ教えて頂いて、ありがとうございます。
でもNo.6の方の形にすれば簡単にできたので、「問題作成者が指数を間違えた」ってことにしますw
ありがとうございました。

お礼日時:2018/12/30 18:46

問題は間違っていないと思いますよ。

(似たような問題を解いた記憶があります。)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。次のお答えに返答します。

お礼日時:2018/12/30 17:14

ANo.1/3です。



>本当に問題設定がおかしいなら、数Ⅲを知らないへんな先生が作った問題、で納得できます。
>これ以上悩む必要、ないですかね??お時間取っていただいて、すみませんでした。

自分の見解としては、この問題にいつまでも思い悩む必要はないと思います。
力量がついて、時間に余裕があったら再チャレンジしてみるくらいでいいのではないかと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。質問してきた本人は、レポート提出しないと単位が出ないらしくて困っていますが、一問くらい空欄でも大丈夫ですよね、たぶん。何度もすみませんでした。

お礼日時:2018/12/30 17:13

ANo.1です。



>自分の勘違いでしたらとても申し訳ないのですが、曲線y=f(x)の長さは、
>√[1+{f'(x)}^2] を積分して求めるのだと思って、質問しました。

失礼しました。曲線の長さを求める積分ですね。
確かにこちらの積分はかなりやっかいです。

曲線の長さを求める積分はご存知の通り、∫(1+(f'(x))^2)^(1/2) dxで表されるのですが、1+(f'(x))^2が簡単な式で表されることは少ないです。
f(x)=x^2の曲線の長さですら、簡単には求まりません。
そのため、難関校でもなければ曲線の長さを求める積分自体、高校では学習しません。

残念ながら、自分の力量では今回の問題において 1+(f'(x))^2 が積分可能な形に式変形できませんでした。
回答になってなくて申し訳ないのですが、積分を学習して日が浅いのであれば、曲線の長さを求める積分はいったん後回しにして、他の微分・積分を学習されることをお勧めします。
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この回答へのお礼

こんにちは。再度のご登場、ありがとうございます。
2番の方のお礼にも書いたのですが、この問題自体があやしいんじゃないかとも思います。
(通信制高校のレポートで、こんな難問でるわけありませんよね)
本当に問題設定がおかしいなら、数Ⅲを知らないへんな先生が作った問題、で納得できます。
これ以上悩む必要、ないですかね??お時間取っていただいて、すみませんでした。

お礼日時:2018/12/30 15:45

答えは付いていますか?


最後の数値は何でしょうか?
分かったら書いてください。

よろしくお願いします。
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この回答へのお礼

こんにちは。ご反応ありがとうございます。
これは、某通信制高校のレポートなので、答えはついていません。
自分がここの生徒ではないのですが、元同級生に質問されました。
で、もっと言えば、ここのレポートの他の問題も見ましたが、そんなに勉強していない自分でも
「この問題、おかしいんじゃね?」的な問題が、実際ありました。
正直、通信制の学校でそんな難問が出るわけないと思いますし。
(なので、質問本文にも問題自体が間違っている可能性も書いたのです。)

お礼日時:2018/12/30 15:41

元の問題であれば、部分積分も置換積分も使用せずに普通に積分できます。



∫[1,3] (x^2/3 + (1/4)(1/x))dx
=(x^3/9 + (1/4)log(x))[1,3]
=(3^3/9+(1/4)log3)-(1/9+(1/4)log1)
=(26/9)+(log3/4)

質問の式は、おそらく部分積分の途中式の一部だと思いますが、今回の場合は部分積分を使用するとかえって難しくなります。
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この回答へのお礼

こんにちは。素早いご回答、ありがとうございました。
自分の勘違いでしたらとても申し訳ないのですが、曲線y=f(x)の長さは、
√[1+{f'(x)}^2] を積分して求めるのだと思って、質問しました。
(最初の行の式は、単にyをxで微分した式のつもりでした。)
そのままyを積分すれば、教えて頂いた通りだと思うのですが。。。
積分の勉強始めたばかりでおかしなことを言っていたらすみません。

お礼日時:2018/12/30 14:01

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