次の関数を微分せよ。 という問題なのですが、分からないので教えてほしいです。解答の過程も書いていただ

次の関数を微分せよ。
という問題なのですが、分からないので教えてほしいです。解答の過程も書いていただきたいです。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ユーヒ 回答日時： 2018/12/31 08:16

(5)y=sin√(x²+x+1)

まず、｛√(x²+x+1)｝'を考える。
｛√(x²+x+1)｝'
=｛(x²+x+1)^1/2｝'
v=x²+x+1と置く
=(v^1/2)'×(x²+x+1)'
=(1/2)v^(-1/2) ×(2x+1)
vを元に戻す
=(2x+1)/｛2√(x²+x+1)｝

では改めて
y=sin√(x²+x+1)
u=√(x²+x+1)と置く
y'=(sinu)'×｛√(x²+x+1)｝'
=cosu× (2x+1)/｛2√(x²+x+1)｝
uを元に戻して
=cos｛√ (x²+x+1)｝(2x+1)/
｛2√(x²+x+1)｝


(6)y=tan(sinx)
u=sinxと置く
y'=(tanu)'×(sinx)'
=(1/cos²u) × cosx
uを元に戻して
=｛1/cos²(sinx)｝× cosx
=cosx/cos²(sinx)

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2018/12/31 08:40

t=x^2+x+1

と置く。この式をxで微分すると
dt/dx = 2x+1
θ=√t
と置く。この式をxで微分すると
dθ/dx = (1/2)t^(-1/2)・(dt/dx)

上のように置くと問題の式は
y=sinθ
と表せる。これをxについて微分すると
dy/dx = (dθ/dx)cosθ

後は第一段落の式を使ってθをtに置き換えて、tをxに置き換えればそれが(5)の答えです。

(6)も同様に解けば良い。

θ=√tをxで微分した時に合成関数の微分の公式を使っています。
この公式が自由自在に使いこなせる人であればわざわざ置き換えなくても解くことは可能です。