高校生レベルの数学Ⅰ問題だと思います 解き方を教えてください ※前回の投稿とは違う問題です

高校生レベルの数学Ⅰ問題だと思います
解き方を教えてください
※前回の投稿とは違う問題です

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/03 17:05

何が分からなくての質問か分かりませんが、いずれも「二次関数の基本」ばかりですから、このぐらいはきちんと理解できないといけません。

「問題さえ解ければよい」ということではなく、これが解けないとこれから先は「地獄の連続」ですから、ここで少し踏ん張ってしっかり教科書を読んで「理解」してください。（「復習」以前に、おそらく一度も読んでいないのだと思いますので）

(1) 「共通の解を持つ」の解釈として、
(a) ２つの同じ解をもつ
ということと,
(b) 各々の2つの解のうち、少なくとも一方が等しい
(c) 各々の2つの解のうち、一方のみが等しい
の3つがあり得ます。
どれであるかはこの問題文からは特定できません。

(a) 「２つの同じ解をもつ」なら、係数は等しくないといけないので
　m + 1 = 2m
　m^2 = m
従って m=1
共通の解は
　x^2 - 2x - 1 = 0
より
　x = [ 2 ± √(4 + 4) ]/2 = 1 ± √2

(b) 「各々の2つの解のうち、少なくとも一方が等しい」ということなら、共通の解を x=a とすると
　a^2 - (m + 1)a - m^2 = 0　　　①
　a^2 - 2ma - m = 0　　　　　　②
が成り立ちます。 ① - ② より
　[ -(m + 1) + 2m ]a - m^2 + m = 0
→　(m - 1)a = m^2 - m
→　(m - 1)a = m(m - 1)

m≠1 のとき a=m
①に代入して
　m^2 - (m + 1)m - m^2 = -m - m^2 = 0
　→ m(m + 1) = 0
与条件より m≠0 なので
　　m = -1
共通の解は
　　a = m = -1

m=1 のときには(a)と同様である。

(c) 「各々の2つの解のうち、一方のみが等しい」ということなら、(b)の前半のみの
　　a = m = -1
ということになります。

このどれも問題の答になり得ると思います。解答欄に書かれているものは (c) のものですね。

(2) x 方向に -1、y 方向に 2 平行移動するということは、元の式で
　x → x + 1、y → y - 2
と置き換えればよいので
　y - 2 = 2(x + 1)^2 + a(x + 1) + b
→　y = 2x^2 + (a + 4)x + a + b + 4
これと
　　y = 2x^2 + 6x + 7
が等しいなら
　　a + 4 = 6, a + b + 4 = 7
より
　　a = 2
　　b = 1

(3) y = -2x^2 + 4x + k = -2(x - 1)^2 + 2 + k
なので、これは「焦点が (1, k + 2) で、上に凸の放物線」です。
0≦x≦3 なら焦点を含むので、最大値は
　　x=1 のとき y=k+2
これが 4 ということは
　k + 2 = 4
より
　k = 2

焦点が (1, k + 2) なので、0≦x≦3 の範囲は焦点（軸）よりも右（x の正方向）の範囲が大きいので、最小値は
　x=3 のとき y=-8 + 2 + k = -4

(4) 左辺は
　x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) < 0
なので
　-1 < x < 5
右辺は
　0 < -2x^2 + 2x + 12 = -2(x - 3)(x + 2)
→　(x - 3)(x + 2) < 0
なので
　-2 < x < 3
この両方を同時に満たすのは、共通範囲で
　-1 < x < 3

(5) 2cosθ + 1 ≧ 0
→　cosθ ≧ -1/2
0°≦θ≦180° の範囲では
　0°≦θ≦120°

この回答へのお礼

ありがとうございます。
他の質問でも言われましたが丸投げはよくないですね。次からは読んで理解しようとして、できなかったところを聞こうと思います。

お礼日時：2019/02/04 16:33

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/01/03 16:46

(1)

共通解をpとおくと、
p²-(m+1)p-m²=0
p²-2mp-m=0

辺々引いて、
-(m+1)p+2mp-m²+m=0
(p-m)(m-1)=0
ここで、m=1とすると、題意の2つの2次方程式は同じものになってしまうので、m≠1
よって、p=mとなり、解がmであることが判る。
よって、x=mを1つめの2次方程式に代入すると、
m²-(m+1)m-m²=0
m(m+1)=0
∴m=-1 (∵題意によりm≠0）
共通解は、p=mなので、-1

(2)
題意のように平行し移動した関数の式は、
2(x+1)²+a(x+1)+b+2
=2x²+(a+4)x+a+b+4
であり、これが2x²+6x+7と一致するから、
a+4=6、a+b+4=7
∴a=2、b=1

(3)
-2x²+4x+k=-2(x-1)²+2+k
であり、これの0≦x≦3における最大値は、x=1のときで2+k
よって、2+k=4より、k=2
最小値はx=3のときだから、その値は、-18+12+2=-4

(4)
x²-4x-5<0
(x-5)(x+1)<0
∴-1<x<5

-2x²+2x+12>0
x²-x-6<0
(x-3)(x+2)<0
∴-2<x<3

求めるxの範囲は、両者の共通部分だから、-1<x<3

(5)
cosθ≧-1/2で、θの範囲は0°≦θ≦180°だから、0°≦θ≦120°

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考になります

お礼日時：2019/02/04 16:30