統計学の問題です。 連続確率変数の確率密度関数は以下で与えられる。(写真参照) 以下の確率を求めなさ

統計学の問題です。
連続確率変数の確率密度関数は以下で与えられる。(写真参照)

以下の確率を求めなさい。
(1) Pr(X=0)

(2)Pr(X<1)

(3)Pr(X<1/2)

(4)Pr(0<X<3/4)

ただし，解答は整数または既約分数で，0や1/2のような形で答えること。

数学の得意な方お願いしますm(._.)m

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/08 23:11

もう一つの同じ質問では、積分区間が少し複雑でしたね。

単純に「下から順番に」計算するのが普通だと思います。

(1) 区間幅がゼロなら、確率はゼロです。
　Pr(X=0) = ∫[0→0]1dx = [x][0→0] = 0

(2) Pr(X<1) = ∫[-1/2 → 0](1 + 2x)dx + ∫[0→1/2]1dx + ∫[1/2 → 1](2 - 2x)dx
　= [x + x^2][-1/2 → 0] + [x][0→1/2] + [2x - x^2][1/2 → 1]
　= [ 0 - ( -1/2 + 1/4 )] + [1/2 - 0] + [(2 - 1) - (1 - 1/4) ]
　= 1/4 + 1/2 + 1/4
　= 1

(3) Pr(X<1/2) = ∫[-1/2 → 0](1 + 2x)dx + ∫[0→1/2]1dx
　= [x + x^2][-1/2 → 0] + [x][0→1/2]
　= [ 0 - ( -1/2 + 1/4 )] + [1/2 - 0]
　= 1/4 + 1/2
　= 3/4

(4)Pr(0<X<3/4) = ∫[0→1/2]1dx + ∫[1/2 → 3/4](2 - 2x)dx
　= [x][0→1/2] + [2x - x^2][1/2 → 3/4]
　= [1/2 - 0] + [(3/2 - 9/16) - (1 - 1/4)]
　= 1/2 + 15/16 - 3/4
　= (8 + 15 - 12)/16
　= 11/16