95％信頼区間でσ / √ｎのσが1.96個分となる算出根拠を知りたい

製造業で抜き取り数をどのように決めるのかについて調べたら、95％信頼区間でσ / √ｎのσは1.96個分と記載されていました。この１．９６となる算出根拠を知りたいのですが。
また、同じように信頼区間が９０％と９９％の時には、σが幾らになるのでしょうか
教えていただけませんか
よろしくお願いします

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/12 10:50

あなたは標準正規分布についてどこまで理解していますか？

この回答へのお礼

ほとんど理解できていません

お礼日時：2019/01/12 15:51

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/12 11:13

相互に独立でランダムな事象は「正規分布」します。

「正規分布」とは、平均値をピークに、左右対称にダラ下がりの分布です。横軸が「確率変数：Z」（テストの場合には「点数」、製品であれば「仕上がり寸法」や「不良品の数」など）、縦軸が「度数」（テストの場合には「その点数の人数」、製品の場合には「製品数」）になります。

　このとき、標準偏差を「σ」として、
　　Zの平均値± σ の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
　　Zの平均値±2σ の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
　　Zの平均値±3σ の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る
という特性があります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

　これを、σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方にすると
　　Zの平均値± 1.65σ　の範囲に、全体の度数の 90.0% が入る
　　Zの平均値± 1.96σ　の範囲に、全体の度数の 95.0% が入る
　　Zの平均値± 2.57σ　の範囲に、全体の度数の 99.0% が入る
ということになります。

　あなたのおっしゃる「σは1.96個分」はまさにこれで、製品であれば「製品数の 95% がその範囲内に入る」という「平均値周りのばらつき」ということです。

　上のように、信頼区間が90％なら「σは1.65個分」、信頼区間が99％なら「σは2.57個分」ということです。
これらの数値は、下記の「標準正規分布表」（これは正規分布の上半分だけを表にしたものなので、全体にするには2倍します）で、表の中の数値が「0.45」「0.475」「0.495」になる「Zの値」が、それぞれ「信頼区間90％」「信頼区間95％」「信頼区間99％」に相当する「Ｚ値」（標準偏差 σ の何個分か）に相当します。

↓　標準正規分布表
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_nor …

この回答へのお礼

１）正規分布での確率グラフは分かり易いです。
　でも、良く使われているのの数値で、　
　２σが０．９５４の確率に　ナゼなったのでしょうか。

　これは「特性がある」と言われていることは、難しい計算式があるので
　（昔の素晴らしい数学者が導き出した値であるから）
　そのまま使うと言うことでしょうか？

２）「全体の○○%」の方を基準にした言い方とのことで

　a.Zの平均値±2σ の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
　と
　b.Zの平均値± 1.96σの範囲に、全体の度数の 95.0% が入る
　とのaとbの関連を　もう少し教えていただけませんか？
　１．９６が出てきた理由が分かると思います。

３）標準正規分布表の使い方
　使い方を理解できました。
　２σの１．９６で本表を引くと　０．４７５となり、
　２倍すると　０．９５０となりました。

３）について　もう少し教えてくれませんか。
よろしくお願いします。

お礼日時：2019/01/12 15:50

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/13 00:46

No.2です。

「お礼」に書かれたことを読みました。
ちょっと時間がないので、申し訳ありませんが、参考サイトを紹介させていただくことにとどめます。
「正規分布」は、数学的に下記のような関数で表わされるということで、その数学的意味よりも、それをどう活用するかということを中心に考えればよいと思います。（パソコンやスマホの動作原理は専門の技術屋さんに任せて、ユーザはそれを活用することでよいのと同じように）

数学的に分からなくても使えるように、「標準正規分布表」というものが作られています。これを自分で計算するのは、パソコンがない時代にはほとんど不可能だったと思います。現在でも、パソコンの「エクセル」で関数を使えば計算はできると思いますが、それがどういう値で本当に使いたいものかを自分で確認するのがちょっと難しいのでしょう。

もし数学的にきっちり究めたいのであれば、こんなサイトで質問するより、専門車を買って自分で勉強する方がよいと思います。

↓　正規分布の一般説明
http://www.randpy.tokyo/entry/normal_distribution

↓　正規分布の数学的な意味合い
https://atarimae.biz/archives/9850

↓　Wikipedia「正規分布」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F …