2次方程式x^2-4x+1=0の2つの解をa,bとするとき、a^2-ab+b^2の値を求めよ。 答え

2次方程式x^2-4x+1=0の2つの解をa,bとするとき、a^2-ab+b^2の値を求めよ。
答え13
解説にa^2-ab+b^2=(a-b)^2+abに代入するとあります。その解き方を教えて下さい

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/22 12:13

(a-b)²=a²-2ab+b²

だから
(a-b)²=a²-ab-ab+b²より
(a-b)²+ab=a²-ab+b²
⇔a²-ab+b²=(a-b)²+ab
なのでこの形なら問題を解くことに使えます
という事で(a-b)²とabを調べに行きます
解の公式よりx^2-4x+1=0の解は
x={4±√(16-4)}/2=(4±2√3)/2=2±√3
つまり、a=2+√3,b=2-√3、またはa=2-√3,b=2+√3の2パターンが考えられる
よって
ab=(2+√3)(2-√3)=2²-√3²=4-3=1・・・2パターンのいずれの場合でもab=1

a-b=(2-√3)-(2+√3)=-2√3
または
a-b=(2+√3)-(2-√3)=2√3だから
2パターンのいずれの場合でも(a-b)²=12

準備が整ったのでメインの計算です
a²-ab+b²=(a-b)²+ab
=12+1
=13
^-^\

この回答へのお礼

いろんな解き方ありがとうございました

お礼日時：2019/01/22 14:32

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/22 12:26

一々元式の解を求めるのはカッタルイ。

解と係数の関係より、a+b=4、ab=1

a²-ab+b² = (a+b)²-3ab = 4²-3 = 13

解説より、遥かに楽。

No.3 回答者： Zincer 回答日時： 2019/01/22 12:19

「2つの解をa,bとするとき」ですから、（x-a)(x-b)=0ということですね。

これを展開した、「x^2-（a+b)x+ab=0」と「x^2-4x+1=0」が同じ式なので、a+b＝４、ab＝１ということになります。
＞解説にa^2-ab+b^2=(a-b)^2+abに代入するとあります。
ではなく、
a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab
ではありませんか？
これならば、他の回答のように個々の解を求める必要は無いのですが、何かの間違いではないでしょうか。

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2019/01/22 12:00

根の公式（4±√16-4）/2＝2±√3・・・a=２+√３,b=2-√3

(a-b)^2+ab＝(２√３)^２+4-3=12+1＝13

どうでしょうか？