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等差数列an=4n-3,bn=7n-5の共通の項を小さい順に並べてできる数列を数列cnとする。このcnの一般項を求める問題について

[解説]
anの第l項とbnの第m項が共通だとして、
al=bmとおいて、
4l-3=7m-5
①4l-7m=-2
②4(-4)-7(-2)=-2
①-②を変形して4(l+4)=7(m+2)
4と7が互いに素だからkを整数として
l=7k-4,m=4k-2
ここで、l,mは自然数だからkは自然数
よって数列cnの第k項は数列anの第l項、
すなわち第7k-4項であり、4(7k-4)-3=28k-19
求める一般項はcn=28k-19 以上

[数列cnの第k項は数列anの第l項、
すなわち第7k-4項であり、]の部分が、なんでそう言えるのかわかりません。
第k項はそもそもanの中の項なのになぜcnの第k項は〜
と言えるのか、いくら考えてもわかりません。
細かい点でわかりにくいかもしれませんが、わかる方教えてください…!

A 回答 (4件)

a(l) = b(m) = c(k) となる k が l = 7k-4, m = 4k-2 を満たすことを算出したのですから、


要するに c(k) = a(l) = a(7k-4) = 4(7k-4)-3 です。それだけの話です。
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[数列cnの第k項は数列anの第l項、


すなわち第7k-4項であり、]の部分は、確かにわかりずらいですね。

数列{an}の第l項を共通項だとして調べた結果、l=7k-4 と求まりました。
k=1,2,3,……のとき、l=3,10,17,……
つまり、a3 , a10 , a17 ,……が共通項です。

これより、数列{cn}は、a3 , a10 , a17 ,……
an=4n-3 なので、
c1=a3=4×3-3=9
c2=a10=4×10-3=37
c3=a17=4×17-3=65
・・・
cn=a 7n-4=4×(7n-4)-3=28n-19
となります。
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alは2つの数列の共通項


解説文にある通り、l=7k-4という関係が成り立っているので
alのlを単純に7k-4に置き換えれば
共通項はa[l]=a[7k-4]
ということになりますよね
kは自然数なので、共通項の1番目はk=1として
a[7・1-4]=a3
共通項の2番目は k=2として
a[7・2-4]=a10
共通項の3番目は k=3として
a[7・3-4]=a17



ということになります
ならば、共通項のk番目は k=kとして
a[7k-4]ということになりますよね…①
ここに、問題文冒頭でで共通項の1番目はc1
2番目は c2
3番目は c3


k番目は Ckと置いたので…②
①②は同じものを指していますから
Ck=a[7k-4] (=a[l])
ということができます
つまり、数列cnの第k項:Ckは数列anの第7k-4項(anの第l項):a[7k-4] ということになります

さて、あなたは「第k項はそもそもanの中の項なのに」と言いますが、どこにそのようなことが書いてありますか?
書いてありませんよね
書いてあるのは aの7k-4項が共通項ということだけです
その辺をもう一度考え直してみるのも理解を得るためには必要かもしれませんよ。
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an のうちbnと被っているものはal "のみ"である。



これが計算結果ですけど、ここまではいいでしょうか?
さらにlはl=7k-4で表せるもののみである、となっているので
anのうちbnと共通するのはa(7k-4)のみである
となります
この共通するのを順に集めたのがcnなので、
c1はa(7k-4)から1番小さいのを集めたとき、つまりk=1のとき(a3)
c2はk=2のとき(a10)
c3はk=3のとき(a17)

cnはk=nのときとなります

よって、答えの最後違います
cn=a(7n-4)=28n-19
cのn番目は?と聞かれたらnで答えないとね
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