２つの円の一部が重なった図

２つの同じ大きさの円の一部が重なった状態で、重なった部分の面積が円の半分の場合、それぞれの円の中心はいくつ離れていますか？
円の半径をｒとします。

また、３つの同じ大きさの円の一部が重なった状態で、全部が重なった部分、２つが重なった部分、重なっていない部分の面積が等しくなるように重ねることは可能でしょうか？

まったく個人的興味での質問です。

No.3 回答者： ken_den 回答日時： 2019/01/26 08:47

S=πr²/8=πr²・θ/360-r sinθ・r cosθ/2

=πr²・θ/360-r² sinθ・ cosθ/2...(1)

sin(θ+θ)
=sinθ cosθ +sinθ cosθ
=2sinθ cosθ
sinθ cosθ/2=sin2θ/4...(2)

(1),(2)よりSは
S=πr²・θ/360-r² sinθ・ cosθ/2
=πr²・θ/360-r²sin2θ/4=πr²/8
π・θ/45-2sin2θ=π
2sin2θ=π・θ/45-π
=π(θ/45-1)
sin2θ=π(θ/90-1/2)

時間があるので、電卓たたいて近似しました。3個はご自分でどうぞ。
θ≒132.4

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/26 01:09

ANo.1です。

円の半分の面積となるときの、円の中心と円の中心の距離を回答するのを忘れていました。
円の半分の面積となる角度をθ（θはθ-sinθ=π/2となる角度）とすると、円の中心と円の中心の距離は、

2r cos(θ/2)

になります。
こちらも一応近似値をだすと、約0.807946rになります。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/26 00:44

簡単化のため、2つの円の中心がx軸上にあるとします。

円の中心をO1(x1, 0), O2(x2, 0)、2つの円の交点をP1(xp, y1), P2(xp, y2)とし、xpはx1<xp<x2とします。

重なった部分の面積は扇形の面積からO1,P1,O2,P2を結ぶひし形の面積を引いたものになります。
重なった部分の面積が円の半分になるときの扇形の角度をθとすると、重なった部分の面積は、

(1/2)θr^2 + (1/2)θr^2 - sinθr^2
=θr^2 - sinθr^2
=r^2 (θ-sinθ)

となります。これが円の半分の面積になるので、円周率をπとすると、

(π/2) r^2=r^2 (θ-sinθ)
θ-sinθ=π/2

となり、厳密解を求めるのは自分には無理です。
一応、近似値だとθ≒2.309881となり、度数だと約132.3464°になります。

3つの同じ大きさの円の重なりはもっと複雑になりますので、自分はパスします。