自然数の集合？

よく自然数の集合と言われますが、
今日ふと、自然数は全順序に並べられるのだから、
自然数の配列と読んだ方がいいのではないか、と思いました。
なぜ配列ではなく集合なのか？
疑問にならないような疑問ですが、
何か理由を知っている人、教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  用語「配列」は数学用語ではないようだ。
  「配列」（array）ならば数学的には「列」(sequence)を使った方がよい。
  そして列は順序集合とは別のより複雑な対象（族というらしい）だ。
  だから、「自然数の配列」を言い直して「自然数の(全)順序集合」としたい。
  すると、質問は、
  順序付けられた集合を順序なしの集合で置き換えていいのか？

    補足日時：2019/01/29 10:21

• 

  今までの回答を吟味して、私の中で明らかになって来たのは次の点です。
  ①「自然数の集合」をそのまま文字通り「「自然数」の集合」と解釈すると、
  　　 {{0}, {{1}, {{2}, {....}....}}}}
  ②「自然数の集合」を「自然数の順序集合」と解釈すると、
  　　(0, 1, 2, ...)
  ③「自然数の集合」を「自然数たちの集合」と解釈すると、
  　　{0, 1, 2, ...}
  私自身は今まで③とイメージしてきた訳です。
  しかしここでも多くの方が②の解釈を支持されているみたいです。
  すると②と①は等価ですから、厳密な集合論に基づくと、
  ①の「集合」から取り出せる単独の数は 0 だけとなります。
  だからどうしても私は③であって欲しいと思うわけです。
  （１も２も...も取り出したい。）
  この考えでいいのか？
  というのが私の質問ではないかな、と感じています。

    補足日時：2019/01/30 11:11

• 

  いままでの回答から、私の質問は２つの疑問からなっているようです。
  ①「自然数の集合」の用語の一般的な意味は何か？
  
  ② 集合{0, 1, 2, ....} と順序集合 (0, 1, 2, ...) とどう使い分けするか？
  
  回答者たちとの質疑を通じで私の中で明らかになってきたのは、②の質問の本当の意味です：
  (0, 1, 2, ...) を自然数の順序を表わす順序集合と考えたが、
  (0, 1, 2, ...) は位相空間を表わしているのではないか？
  そして、単なる順序集合の（a, b, c, ...） とは意味が違うのではないか？
  さらに、(a, b, c) は順序組の表現でもあり、順序集合と順序組はこれまた意味が違うのではないか？
  
  現在、「列」を勉強しているので、
  　集合→自然数の体系→順序集合→順序組
  という流れが見えてきて、質問して良かったと感じています。

    補足日時：2019/02/01 10:55

• 

  自分なりの解釈
  ①述語論理の項たちを要素として要素クラスを定義する。
  ②要素たちから集合クラスを定義し、その表現として { } を導入する。
  ③帰属関係から要素クラスの下位クラスとして、
  物理的対象たちのクラスと数学的対象たちのクラスが派生する。
  数学の下位クラスとして自然数を定義する。これが「自然数の集合」である。
  ただし、{0, 1, ...} にはまだ順序関係はない。
  ④集合たちの間の包含関係から、集合の下位クラスとして順序集合が定義できる。
  ⑤集合の属性として集合に自然数を対応させ、濃度を定義する。
  ⑥空集合で始まる全順序集合と０で始まる自然数が１対１対応し、
  包含関係から大小関係を定義し、自然数に順序を与える。
  ⑦自然数から集合への写像によって列クラスを定義し、その表現として ( ) を使う。
  ここで自然数の順序集合は (0, 1, ...) と表現できる。
  どうだろうか？

    補足日時：2019/02/03 14:43

No.18 回答者： tsukita 回答日時： 2019/02/07 03:54

No17です。

No17について、明確な理解をしたいと思い、何を私が知りたいかを明確にするために(No17-)をつけたつもりでしたが、直接的な回答が得られず少し意外でした。論理学や集合論に乏しい私には読解力がないだけかもしれません。

「(No17-1)自然数の定義を再度明記して欲しい。」について
「質問者からの補足コメント」の中で、あなたは「③数学の下位クラスとして自然数を定義する。」と示しました。その定義とは何か、というのが、私が理解したいと思ったところです。

「(No17-2)ペアノの公理は「自然数の性質を表現したもの」「自然数の定義」「自然数の構成」いずれですか？」について
ペアノの公理は果たして何を表現するものなのか、あなたの考えを聞きたかったのですが、直接的な回答得られませんでした。ただし、No17から、少なくとも、あなたはペアノの公理は「自然数の定義」と考えているのではないことが垣間見られます。すると、「③数学の下位クラスとして自然数を定義する。」の定義とは何か更に気になってくる。

「(No17-3)：Xの「自然数集合」を表現してください。」について
あなたは、自然数は「既存の集合から新しい集合を作り出す操作と解釈できる」と主張している。そこで、既存の集合X={a,b}から操作"自然数"を用いて、どのような集合が構成されるのか具体的に知り、あなたの意図を理解したいと思ったのですが、直接的な回答得られませんでした。

自然数は新しい集合を構成する操作について、厳密にはわかりませんが、そうして構成した集合は、結局「（N、0, ≤）と同型」ではないのですか？


さて、果たして自然数とは何かを考えると私には上手く表現できません。これが、このQAに私が関心を寄せ続けている理由です。整数や有理数、実数、複素数　は自然数から数学的に定義できますが、その定義の根底にある自然数は、私たちが"量"や"順序"を認識する感覚・知性に寄るものであって、「自然数を定義」することが極めて難しいと感じています。あなたが、ペアノの公理は自然数の定義でないと主張している（ような気配を感じる）のと同じように、ペアノの公理は、自然数を公理化したものであり、自然数を定義したものではない、と考えます。つまり、はじめに「自然数」がある。

（すると自然数が数学にとってメタ的な存在であり、また、数学が私たちの概念を抽象化しようとする学問であることが際立ってくる。奥が深いなぁと思いました。）

また、「自然数の集合」についてですが、一般的に数学では集合は要素の集まりです。そして、集合は{要素，要素，要素，…}と表され、そこから要素を取り出したり、必要におうじて(集合,演算)などとして数学の構造を議論できる。私たちが（私が？）感じている「集合」はそれだけのもので、何の問題もない。「自然数の全順序集合」でも「自然数の列」でも、それは「全順序集合」や「列」の定義と表現の問題であってケースに応じて好きに選べばいい、という考えは変わっていません。あなたが「自然数の集合」を理解しようとするとき、根本に理解を求めているのは「自然数」ですか「集合」ですか、それともやはり「自然数の集合」ですか？私には、あなたが「自然数」の解釈に困っているように思えます。

No13の回答のニュアンスに私も同意したいという気持ちが未だ大きいです。集合とは何か、という集合論の根本議論は抜きにして「集合」は明確です。Set(N)={0,1,2,3,…}って誰でも自然数の集合と解釈できるし、これを使った様々な数学の議論に何も問題ない。この表記に問題ない、という立場からは自然数の「集合」に違和感は感じません。しかし、例えば、2∊Set(N)の"2"は何かという問いに答えるのは極めて難しいです。

この回答へのお礼

再度、ご回答ありがとうございます。
私自身も「自然数の集合とは何か」と何か漠然とした疑問があり、
ここで質問している訳です。
しかし、その質問が字義通りではないこと？
もっと別に本質的な疑問があること？
私の集合理解に問題があること？
さまざまな曖昧な点をひっくるめて「自然数の集合とは何か」と尋ねています。
つまり、私には分からない訳です。
おそらく回答者自身も「自然数の集合とは何か」と疑念を持ったのではないでしょうか？
私は回答者の質問に私なりに答えたつもりなのですが、
それでも分からないというのは、私の理解が浅いか、
私の語彙があなたの語彙と違うのか、その辺のところです。
ただし、私はこの質問によって、２つのことに気付きました：
①集合たちの包含関係から順序集合が派生する。
しかし、順序集合というのは集合たちの集合の部分集合である。
②対としての順序集合 (a, b) と順序組 (a, b) には本質的に違いがある。
現在は①より「自然数の集合とは何か」という疑問は問題ではなくなり、②の順序組を含む集合の族に焦点が移っています。厳密な集合論であるZFC公理系で主張されなかったことが、
集合の族で写像を含めて主張されていることに気付いたからです。
これから勉強するので、今はこれ以上答えられません。
ただし、メタ言語的主張と対象言語的主張を区別するのは重要です。
数学で（特に圏論で）よく出てくる「自然な」という形容詞は、
おそらく「メタ言語的」という意味ではないかと思っています。
こういう私の理解は「メタ言語」と「対象言語」という形式言語論の語彙によって生まれています。
また全順序集合と自然数が「同型」であるという私の理解は圏論の語彙によって生まれています。
また言語の議論領域が何を参照するのか考慮する必要がないという理解は、モデル理論的意味論から生まれています。
このところは、人に説明するとき反省すべき点です。

お礼日時：2019/02/07 12:07

No.17 回答者： tsukita 回答日時： 2019/02/05 01:28

No15です。

私には、あなたの論理の順番を理解するのが難しいです。
いったい、はじめに何があるのだろう？

>自然数の定義と順序はすでに追加コメントに簡単ですが書きました
私には、どこに書いてあるのかわかりません。
(No17-1)：もし、良かったらこの回答のお礼または補足にあなたが考える自然数の定義を再度明記して欲しい。

>私たちの主観を表現するメタ言語からなります。
>その時、自然数とは何かというと私たちの日常で使われる数の概念です。
>よって自然数とは対象言語外に存在するのでメタ言語で記述されます。
とあるので、あなたの「自然数の定義」がわからないのです。自然数を定義したのか、メタに存在する概念なのか。
(No17-2)：ペアノの公理とよばれるものは「自然数の性質を表現したもの」「自然数の定義」「自然数の構成」いずれですか？

> 空集合を初期値とする⊆の関係を持つ集合たちの全順序集合（A、φ, ⊆）は、
> 私たちの自然数（N、0, ≤）と同型であることが証明されます。
私には、あなたが考えている「自然数の定義」がわからないので、「私たちの自然数」が何なのかわかりません。

>この全順序集合を「自然数集合」とすると、集合クラスにおいて「自然数集合」とは、
> 冪集合と同じように既存の集合から新しい集合を作り出す操作と解釈できる。
共通理解をはかるために「冪集合」と「自然数集合」を比較させてほしい。
例えば、X={a,b}とするとき、
Xの「冪集合」は{{},{a},{b},{a,b}}である。
(No17-3)：Xの「自然数集合」を表現してください。

※議論のために、複数の質問をしてしまいましたので、(No17-*) で質問に番号を付けました。

この回答へのお礼

再度、回答ありがとうございます。
前回の解釈はかなり考えたものだったのですが、
理解してもらうには、力不足だったのですね。
今回は時間もないので、簡単に
１）　主観的とは、日常使っている自然数の概念のことです。
２）　ペアノの公理については、ウィキペディアで述べられているのと同じです。
ただし、ペアノ自身は自然数を定義しなかった。
３）　例えば、
{φ, {{φ}}, {｛φ｝, {{φ}}, ...} ここで
0 := ｛｝ = φ、1 := {φ}＝ 、2 := {{φ}, {{φ}}}, ...
これらは集合として考えると 0 ⊆ 1, 1 ⊆ 2，・・・が成り立つ。
これらを要素として考えると 0 ≤ 1, 1 ≤ 2、・・・が成り立つ。
以上です。

お礼日時：2019/02/05 22:42

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/04 14:49

＞ZFCの分出公理が順序対の概念の原型ではないか

分出公理より置換公理を使うほうが今では普通だと思いますが、
分出公理にせよ、置換公理にせよ、対から成分を取り出す
写像の存在には関与するにしても、既に両成分が定義されている
ところから対を構成するのには、必要ありませんね。

＞順序対をZFC以外で構成する方法ではなく、

順序対の存在が、ZFCに公理として含まれていないことが
不満なんですか？ 対集合の存在が公理としてある以上、
ZFC の下に順序対は構成できます。前のほうで
(1,2,3,…) から 3 を取り出す写像が「直接でない」ことを
気にしておられたようですが、既知の関数の合成が
関数として存在しないように思えたり、公理系から導かれる
定理がその公理系に含まれないように思えたりするその感覚で、
数学について語ろうとするのは無理があると思います。
これだから、分析哲学は

この回答へのお礼

再度、ご回答ありがとうございます。
何度か読み返しましたが、私の数学の知識では意味が分からない。
もう少し具体的に説明してくれると分かるかもしれない。
定義するのではなく、順序対をZFC公理系から導出してくれるとか、
既知の関数の合成とは何か、具体的に説明してください。
私は疑問があり、質問しており、
自分の疑問を明らかにするために、私はどのように考え、
どのように解釈しているのかを回答者に説明しています。
その中に誤りがあるなら具体的に指摘してください。
そして誤りがあれば訂正し、調べ直して、
追加コメントで疑問点、解釈を説明します。
できれば最終コメントについてお願いします。

お礼日時：2019/02/04 19:36

No.15 回答者： tsukita 回答日時： 2019/02/03 20:17

論理学の視点が入ってきましたね。

質問者様は、深い認識を伴いながら質問をしていることがわかってきました。わたしは専門家ではないのですが、いくつか整理したいと思い書き込ませていただきます。

（整理１）あなたが考える自然数の定義を簡潔に主張してほしい。
※簡潔に、というのは例えば、「ペアノの公理を満たす集合を自然数と呼ぶ」という程度。ペアノの公理の１つ１つを詳細に明示する必要性は（回答者たちの多くが周知の事項であるため）現時点は感じない。

（整理２）自然数に対する順序の定義は？

このあたりのあなたの考えを教えていただけると、あなたの質問が理解しやすくなる気がします。

この回答へのお礼

再度ご回答ありがとうございます。
ただ、自然数の定義と順序はすでに追加コメントに簡単ですが書きましたので、
私の「自然数の集合」という言葉に対する不信感を説明したいと思います。
「数学とは何か？」と尋ねられると私は「形式論理言語」と答えます。
この言語を理解するには、数学を記述する対象言語と
私たちの主観を表現するメタ言語からなります。
ここでメタ言語とは私たちの日常の言葉、自然言語である場合が多い。
その時、自然数とは何かというと私たちの日常で使われる数の概念です。
よって自然数とは対象言語外に存在するのでメタ言語で記述されます。
自然数体系を記述する対象言語の構築には、
まず対象とする領域のすべての対象たちの識別名を与えます。
これが議論領域（ユニバース）であり、自然数を記述する形式言語では、
{0, 1, 2, ...} なる数字たちの集まりです。これは外部から与えられた単語ですが、
自然数の体系において対象言語に含まれる（借用）単語たちです。
形式言語の一大特徴は、一度議論領域が与えられると
それが何を参照するか特定しなくてもよい、ということです。すなわち、
{0, 1, 2, ...}の個々の要素は記号以外の何者でもなく、単なる記号の集まりに過ぎない。
対象言語内で要素型と集合型を一度定義すると、
{0, 1, 2, ...}は自然数体系の議論領域という集合であると言えます。
（だからこれを「自然数の集合」というのは略し過ぎで、さらにメタ言語＋対象言語の構成になる。）
そして集合の濃度に数字たちをメタ概念である自然数を使ってメタ言語で対応させます。
対象言語 iff メタ言語　（例： length(φ) = 0 iff 空集合の濃度は０である。・・・）
これによって数字に意味を与えることができます。
集合に包含関係⊆という関係を導入すると、
集合クラスの下位クラスとして順序集合を定義することができ、
空集合を初期値とする⊆の関係を持つ集合たちの全順序集合（A、φ, ⊆）は、
私たちの自然数（N、0, ≤）と同型であることが証明されます。
この全順序集合を「自然数集合」とすると、集合クラスにおいて「自然数集合」とは、
冪集合と同じように既存の集合から新しい集合を作り出す操作と解釈できる。
私にとってはこの自然数集合が「自然数の集合」に一番近い。

お礼日時：2019/02/04 18:27

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/03 18:07

＞ただし、ZFC系の公理で対はどのように定義されているか

対の公理があれば、{a,b} が構成できるから、
{a,{a,b}} とか {a,b,{b}} とか
順序対 <a,b> を構成する方法は
いくらでもありますよね？

この回答へのお礼

再度、ご回答ありがとうございます。
おそらく、私の疑問の原因は、順序対 (a, b) への理解の勘違いにあると考えています。
ZFCでは対（集合）{a, b} は定義されているが、順序対 (a, b) がそもそも定義されていない。
またクロス積も定義されていない（外延的表現では順序対が使われる）。
それなのに、私は自然数の本質は順序だから (0, 1, 2, ...) と順序組で表現できると信じていた。
集合と述語論理で数学のすべてを構成するという立場で考えると、
自然数の集合 {0, 1, 2, ...} と自然数の順序集合（組） (0, 1, 2, ...) の間には、
大きなギャップがあると気付いた、これが私の疑問ではないかと考えています。
これを述べると問題を大きく（混乱）させてしまいますが、私の現在の感覚では、
順序対をZFC以外で構成する方法ではなく、
ZFCの分出公理が順序対の概念の原型ではないか、と感じています。

お礼日時：2019/02/04 10:59

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/02/01 20:05

う~ん、やっぱり全然言葉が通じてない気がします。

例えば
生物←動物←人間
という分類では、人間は生物である
と言えます。

同様に、集合は要素の集まったものの総称。
中味がなんであれ、どういう性質を持つものであれ、
要素が群れていれば集合です。そんだけ。

抽象化というのは中ーくらいから徐々に習ったように
記憶してますが、ああいうのは苦手なんですか?

この回答へのお礼

再度、回答ありがとうございます。
私自身も自分が感じている疑問を質問にしているので、
適切な質問として問うているか、回答を読みながら学んでいます。
だから、もう少し詳しく書いてください。
私の疑問は、集合に順序を与えたり、列を作るということがどういうことなのか？
というのがその本質ではないかなと思っています。
または、自然数も順序集合も順序組も新しいクラスではなく、
集合そのもので、順序組も一般的な集合と自然数という特殊な集合の組み合せにしか過ぎない：
この組み合せ（写像）は新しいクラスといえるのか？（これはこの２、３日での疑問）
などなどです。
あくまでも、私が分からないのです。
ただし、分からないところは、集合という最も抽象化された順序もない数学的対象から、
与えられるのではなく、
自然数や順序がどのようにして述語論理を使って定義されるかという過程です。
昨日の分かったことは、順序対というのが順序にとって最も重要な概念で、
順序対そのものが集合に順序を与える関係であると言うことです。
ただし、ZFC系の公理で対はどのように定義されているか
（無かった気がする？あるのは対集合{a,b}）、
またはどのように導出されるのか、順序対が関係であるという立場で、再度確認中です。

お礼日時：2019/02/02 21:55

No.12 回答者： tsukita 回答日時： 2019/01/31 21:32

>ただし、私自身は数学の本でよく使われる「自然数の集合」を順序がない「自然数の数字たちの集合」と解釈しています。

だから余計、一般に使われる「自然数の集合」という言葉はどんな意味を持つのか、疑問が湧いてきたわけです。

一般に使われる自然数の集合は、自然数のすべての元の集まりであり、それ以上でもそれ以下でもありません。順序は「自然数」が備えている「性質」です。

「自然数の集合」という表現がふさわしいか、「自然数の配列集合」という表現がふさわしいかは、その自然数を用いて何を議論しようとしているかで違ってくるわけで、あくまで他者と共通理解を図るための表現手段の違いにすぎません。

配列で表現すれば”次の元”のような順序に関する形容詞が生きてきますし、"何番目の"というラべリングもできます。でも、そういった議論が必要ないなら、配列でなくてもよいでしょう？

小中学生が、自然数を使って計算をしますね？足し算とか引き算とか？
先生が、問題を作りなさいと言ったら、こどもたちは平気で
３＋５＝８　や　１００＋２３＝１２３　のように厳密に自然数の定義を理解してなくても自然数の集合を扱ってしまうでしょう？そして、８＜１２３という大小関係（順序）だって論じることができる。このとき、教師は配列集合である自然数なんて意識していないでしょう？だって、今は配列集合による表現なんて必要ないのだから。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
自分の疑問を質問という形にするのは難しいです。
あなたが最初に指摘してくれたところが私の聞きたいところです。
そして最後の「自然数なんて意識しないでしょう」という言葉、
計算などをする時、確かに使った数字が自然数を表わすかどうか気にせず、
使えます。この辺りに私の疑問の本質がある気がします。

お礼日時：2019/01/31 22:45

No.11 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/01/31 00:48

この質問と回答における登場人物で

「自然数の集合」を「自然数の順序集合」と解釈したい
と思っているのは, 実はあなただけだと思う.

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。
その通りです。
私が自然数に順序があり、自然数は順序集合になり、
さらに順序組として括弧 ( ) で表現できると思っていた。
それで、波括弧 { } を使う「自然数の集合」では順序がなくなってしまわないか、
と素直に思ってしまったのです。これが私の疑問の始まりです。
ただし、私自身は数学の本でよく使われる「自然数の集合」を順序がない「自然数の数字たちの集合」と解釈しています。
だから余計、一般に使われる「自然数の集合」という言葉はどんな意味を持つのか、疑問が湧いてきたわけです。
そして理解することなく「自然数の集合」という言葉を使っていたと気付いたわけです。
この意味如何では、私の解釈が間違っているとか、集合の理解に間違いがあると、
結論付けなければならないわけです。
今「列」について勉強しているので、私にとってはかなりシリアスな問題です。

お礼日時：2019/01/31 12:45

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/31 00:14

ああ、漂う哲学臭が...

哲学は、数学とは相容れないですよ。
哲学を排除することが、形式化ですからね。
薀蓄垂れてる暇があったら、
証明木を計算しろ！ということです。

構成的定義の一例に拘泥することに
あまり意味があるとは思えないのですが、
クラフトスキーの順序対に拘るとしても、
順序対から成分が取り出せるのなら
順序対を使って構成した列からも
任意の項は取り出せます。
例えば、L(a,b) = a, R(a,b) = b と書けば、
3 = LRRR(0, 1, 2, 3, …) でしょう。
(0, 1, 2, 3, …) から 3 を一発で取り出す
写像 LRRR が、ちゃんと在るじゃありませんか。
「単独で取り出す」という言葉の意味を
定義しないと、話は始まりませんよ。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。
ご忠告もありがたく受け取りたいと思います。
私は私の感じた疑問を真面目に解決したいと思っています。
それがおそらく私の単なる勘違いによって生じたものである可能性が大きいとも思っています。
だから、なぜ勘違いしたかを、どこが間違っていたかを知りたいのです。
いままでの回答を真摯に考察して、勘違いしていたところが段々明らかになりつつあり、
ここで質問し、それに回答してくれた回答者に感謝しています。
順序組についても、それに対する指摘から、
順序組が写像として、
　　f: N → A
として
　　(a1, a2, ..., an) ≡ (N, A, f)
と定義され、
　　N = {1, 2, ..., n} : 添字集合
　　A = {a1, a2, ..., an} : 順序組すべてのなす集合
　　f = {(1, a1), (2, a2), ..., (n, an)}
である、ということが分かりました。
このことから、順序組に対しては、「自然数の集合」とは、
ここでいう添字集合を意味すると言えると思います。
これによって、順序組から各要素を取り出す仕組みができるのだ、
ということが理解できる。
自然数についても、順序というのは本質であるけれど、
自然数の体系としてペアノ体系を考えると、
ペアノ体系における議論領域が自然数の集合｛0，1, 2, ...｝であるので、
自然数の集合を以って自然数の体系の議論領域を意味するのではないかなと考えています。
（すなわち、議論領域だから本当は自然数を表わす数字たちの集合。）
まあ、これを薀蓄と言われれば返す言葉もありませんが、
ここでもらった回答、一つ一つを真摯に受け止め、
一つ一つの項目をもう一度調べ直した結果です。
ただし、これらのことは私の疑問を解決はしますが、
数学的にまだ思い違いがあるかもしれません。
1つだけ質問があります。
あなたにとって、分析哲学は数学とは相容れないのでしょうか？
わたしには、分析哲学はほぼ形式論であり数学だと思えるのですが。

お礼日時：2019/01/31 11:56

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/30 17:31

２個目の補足で、ますます何言ってるのか

わかりにくくなりましたね。
文字通りの「「自然数」の集合」は、むしろ
③だと思いますが、違うんでしょうか。
自然数の成り立ちのようなことを考えている
のだとしたら、①は
{{0}, {{1}, {{2}, {....}....}}}} じゃなく
{ {0}, {0,{0}}, {0,{0},{0,{0}}}, ... }
じゃないかと思いますが...　それを
{ {0}, {0,1}, {0,1,2}, ... } と書いても、
{ 1, 2, 3, … } と書いても、内容は同じですが。

前の回答をした時点では、貴方は②と③の違い
を考えているのだと思っていました。
それについては、No.6 さんの説明が全てだと思います。
正三角形が三角形であるように、順序集合も集合です。

あるいは、一連の文章の冒頭で「自然数の集合 N」と
導入しておいて、後で N の順序構造を使うのは変だ
と言っているのかな？ もしそうなら、
N は「自然数の集合」と宣言されているので、
「自然数」という言葉の中に自然数の順序構造を持つ
ことがあらかじめ説明されている...と考えてよいと思う。
わざわざ「自然数の順序集合 N」と言わなければいけない
ということはないでしょう。言ってもいいけどさ。

その辺は、「実数の集合 R」と言って「実数の体 R」と
言わなかったら足し算掛け算しちゃいけないか、とか
そんな話と同じになる気がします。

この回答へのお礼

再度、ご回答ありがとうございます。
ご回答について、
①は（０、１、２、・・・）という順序組を集合で表現したものです。
（たとえばクラフトスキーの定義を参照）。
あなたが回答してくれたものは
0 = {0}
1 = {0, {0}}
・・・・・
という自然数の集合表現です。
順序組はクラフトスキーの定義
(0, 1) ≡ {0, {0,1}}
(0, 1, 2) ≡ (0, (1, 2))
として、帰納的に
(0, 1, 2, ・・・) = {{0}, {{1},　｛{2}, ...}}}
となります。
私にとっての疑問とは、実際には（現在のところ）
(0, 1, 2, ・・・）ではなくて{0, 1, 2, ・・・}を使わなくてはならないのは、
なぜなのか？ということです。
そして1つの答えになりそうなものは、
順序組(0, 1, 2, ・・・）では集合的には初期値以外は単独では取り出せないということです。
(順序組または列として取り出す方法があるかもしれませんが、
できれば集合として取り出す方法があって欲しい。)
しかしこの答えが正しいかどうかは私にはわかりませんし、
これ以外にもっといい答えがあるかもしれません。

お礼日時：2019/01/30 23:18