自然数の集合？

よく自然数の集合と言われますが、
今日ふと、自然数は全順序に並べられるのだから、
自然数の配列と読んだ方がいいのではないか、と思いました。
なぜ配列ではなく集合なのか？
疑問にならないような疑問ですが、
何か理由を知っている人、教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  用語「配列」は数学用語ではないようだ。
  「配列」（array）ならば数学的には「列」(sequence)を使った方がよい。
  そして列は順序集合とは別のより複雑な対象（族というらしい）だ。
  だから、「自然数の配列」を言い直して「自然数の(全)順序集合」としたい。
  すると、質問は、
  順序付けられた集合を順序なしの集合で置き換えていいのか？

    補足日時：2019/01/29 10:21

• 

  今までの回答を吟味して、私の中で明らかになって来たのは次の点です。
  ①「自然数の集合」をそのまま文字通り「「自然数」の集合」と解釈すると、
  　　 {{0}, {{1}, {{2}, {....}....}}}}
  ②「自然数の集合」を「自然数の順序集合」と解釈すると、
  　　(0, 1, 2, ...)
  ③「自然数の集合」を「自然数たちの集合」と解釈すると、
  　　{0, 1, 2, ...}
  私自身は今まで③とイメージしてきた訳です。
  しかしここでも多くの方が②の解釈を支持されているみたいです。
  すると②と①は等価ですから、厳密な集合論に基づくと、
  ①の「集合」から取り出せる単独の数は 0 だけとなります。
  だからどうしても私は③であって欲しいと思うわけです。
  （１も２も...も取り出したい。）
  この考えでいいのか？
  というのが私の質問ではないかな、と感じています。

    補足日時：2019/01/30 11:11

• 

  いままでの回答から、私の質問は２つの疑問からなっているようです。
  ①「自然数の集合」の用語の一般的な意味は何か？
  
  ② 集合{0, 1, 2, ....} と順序集合 (0, 1, 2, ...) とどう使い分けするか？
  
  回答者たちとの質疑を通じで私の中で明らかになってきたのは、②の質問の本当の意味です：
  (0, 1, 2, ...) を自然数の順序を表わす順序集合と考えたが、
  (0, 1, 2, ...) は位相空間を表わしているのではないか？
  そして、単なる順序集合の（a, b, c, ...） とは意味が違うのではないか？
  さらに、(a, b, c) は順序組の表現でもあり、順序集合と順序組はこれまた意味が違うのではないか？
  
  現在、「列」を勉強しているので、
  　集合→自然数の体系→順序集合→順序組
  という流れが見えてきて、質問して良かったと感じています。

    補足日時：2019/02/01 10:55

• 

  自分なりの解釈
  ①述語論理の項たちを要素として要素クラスを定義する。
  ②要素たちから集合クラスを定義し、その表現として { } を導入する。
  ③帰属関係から要素クラスの下位クラスとして、
  物理的対象たちのクラスと数学的対象たちのクラスが派生する。
  数学の下位クラスとして自然数を定義する。これが「自然数の集合」である。
  ただし、{0, 1, ...} にはまだ順序関係はない。
  ④集合たちの間の包含関係から、集合の下位クラスとして順序集合が定義できる。
  ⑤集合の属性として集合に自然数を対応させ、濃度を定義する。
  ⑥空集合で始まる全順序集合と０で始まる自然数が１対１対応し、
  包含関係から大小関係を定義し、自然数に順序を与える。
  ⑦自然数から集合への写像によって列クラスを定義し、その表現として ( ) を使う。
  ここで自然数の順序集合は (0, 1, ...) と表現できる。
  どうだろうか？

    補足日時：2019/02/03 14:43

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/30 17:31

２個目の補足で、ますます何言ってるのか

わかりにくくなりましたね。
文字通りの「「自然数」の集合」は、むしろ
③だと思いますが、違うんでしょうか。
自然数の成り立ちのようなことを考えている
のだとしたら、①は
{{0}, {{1}, {{2}, {....}....}}}} じゃなく
{ {0}, {0,{0}}, {0,{0},{0,{0}}}, ... }
じゃないかと思いますが...　それを
{ {0}, {0,1}, {0,1,2}, ... } と書いても、
{ 1, 2, 3, … } と書いても、内容は同じですが。

前の回答をした時点では、貴方は②と③の違い
を考えているのだと思っていました。
それについては、No.6 さんの説明が全てだと思います。
正三角形が三角形であるように、順序集合も集合です。

あるいは、一連の文章の冒頭で「自然数の集合 N」と
導入しておいて、後で N の順序構造を使うのは変だ
と言っているのかな？ もしそうなら、
N は「自然数の集合」と宣言されているので、
「自然数」という言葉の中に自然数の順序構造を持つ
ことがあらかじめ説明されている...と考えてよいと思う。
わざわざ「自然数の順序集合 N」と言わなければいけない
ということはないでしょう。言ってもいいけどさ。

その辺は、「実数の集合 R」と言って「実数の体 R」と
言わなかったら足し算掛け算しちゃいけないか、とか
そんな話と同じになる気がします。

この回答へのお礼

再度、ご回答ありがとうございます。
ご回答について、
①は（０、１、２、・・・）という順序組を集合で表現したものです。
（たとえばクラフトスキーの定義を参照）。
あなたが回答してくれたものは
0 = {0}
1 = {0, {0}}
・・・・・
という自然数の集合表現です。
順序組はクラフトスキーの定義
(0, 1) ≡ {0, {0,1}}
(0, 1, 2) ≡ (0, (1, 2))
として、帰納的に
(0, 1, 2, ・・・) = {{0}, {{1},　｛{2}, ...}}}
となります。
私にとっての疑問とは、実際には（現在のところ）
(0, 1, 2, ・・・）ではなくて{0, 1, 2, ・・・}を使わなくてはならないのは、
なぜなのか？ということです。
そして1つの答えになりそうなものは、
順序組(0, 1, 2, ・・・）では集合的には初期値以外は単独では取り出せないということです。
(順序組または列として取り出す方法があるかもしれませんが、
できれば集合として取り出す方法があって欲しい。)
しかしこの答えが正しいかどうかは私にはわかりませんし、
これ以外にもっといい答えがあるかもしれません。

お礼日時：2019/01/30 23:18

No.8 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/01/30 08:58

公道を走っている車って、ナンバーの種類によって分類できますよね。

　その分類方法によってグループになった車が、集合です。　その集合をナンバーを番号等によって並べることもできますけど、そのような順番が必要ないことも多いですよね。　それと同じようなことです。　

そういう必要性がない、単純な例を考えてみると、
自然数という集合に対して+（足す）や　×（掛ける）という演算を行うと結果は自然数になります。
自然数は+、ｘにおいて閉じた集合であると表現します。
-（引く）という演算は整数であれば閉じていることになりますし、
÷（割る）に関しては（簡単に言うと）0を除いた有理数であれば閉じているということになります。
閉じているとかいないとか、普段はあまり気にならないかもしれませんが、、、

数学を考える上では、足し算ってどういうときにでもやっていいのかという根底にかかわる話でもありますし、
新たな概念を考える上では必ず考えなくてはいけない部分です。　そういう時に、順番が問題としない時には純烈などは考えないという話になります。

また、複素数のように、（順番の定義によっては）必ずしも順番がうまくつけられない（無理やりつけてもあまり意味をなさない）物もありますので、順番を気にしないで論理を進めましょうという話になることもあるわけです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
あなたのご回答、そして今までのご回答を含めて、
私なりに私が何を質問しているのか少し明らかになってきました。
そこで新しい補足コメントを書きましたので、
それを読んでいただければ、
より私の疑問が分かっていただけるのではないかな思います。
私自身、私が何を質問しているのかわからない状況でしたので、
少しは自分の疑問を理解できたのかなと感じています。

お礼日時：2019/01/30 11:24

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/29 22:31

どうも話が通じてない気がしますが・・・

>順序付けられた集合を順序なしの集合で置き換えていいのか？

包摂による分類を認めない考え方なんでしょうか?

つまり順序の有無両方を包含するより上位の「集合」という抽象概念は
認められないということ?？？

この回答へのお礼

再度、ご回答、ありがとうございます。
私自身も何が問題なのかよく分からない状況です。
ただし、ここでの議論の結果を新しく補足しました。
補足を読めば、もう少しは問題が何か明らかになれば、
もっと回答し易くなるのではと期待しています。

お礼日時：2019/01/30 10:42

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/29 08:31

自然数は順序付られた数列だと思いますが、

集合でもあります。

集合はより上位の概念なので、問題ない。

正三角形を三角形と呼んで問題無いのと同じ。

この回答へのお礼

ありがとう。
No.5 の回答者へのお礼でも言いましたが、
それでいいのか？他に理由はないのか？
と迷っています。
「それでいい」ときっぱり言ってくれれば助かります。

お礼日時：2019/01/29 11:10

No.5 回答者： mide 回答日時： 2019/01/29 05:14

自然数全体については，集合と考えてもいいし全順序集合（質問者さんのいう「配列」のようなもの）と考えてもいいし半順序集合と考えてもかまいません。

それ以外の捉え方も数々あるでしょう。どれかひとつであるべきと決まっているわけではありません。

「自然数の集合」というときは集合であることに注目して論ずるのであって，順序が決まっていることを前提にする必要がないときです。必要に応じて「自然数の全順序集合」というときもあります。ただ，よく使うのは「自然数の集合」だからよく聞くだけでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私もそのような考えがあります。
ただそう考えていいのか、他にも理由があるのではないかと迷っています。
集合は厳密に考えると非常に難しいと思います。
ただ、私がまだ「これだ！」と感じた集合の教科書にみぐりあっていない性かもしれません。

お礼日時：2019/01/29 11:08

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/01/29 00:19

「順序を持つ」ことは集合としての本質ではない. どんな集合にも順序を入れることができる.

この回答へのお礼

短い回答ですが、ありがとうございます。
あなたが指摘している通り、順序を持つことは集合の本質ではないと私も考えます。
しかし、自然数の本質は順序を持つことではないかと、私は考えるのです。
だから、自然数の本質を無視して集合と言っていいのか？と疑問を感じているわけです。
「どんな集合にも順序をいれることができる」は、選択公理から
「どんな集合もその要素たちを整列することができる」と私なりに解釈します。
しかし、この整列は要素の値（参照先）ではなく要素名についてではないでしょうか？
順序集合を構成するには、（基盤）集合にその要素たちの値間の関係を導入しなければならない。
ただこのように考えると、集合は順序を考えなくともよいが、自然数たちの集合なので、
「自然数」と指定したことで順序が集合の参照先に導入されたと考えることができそうです。

お礼日時：2019/01/29 11:01

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2019/01/28 23:17

自然数に順序を入れる方法は沢山あると思います。

例えば、
１＜２＜３＜。。。普通の大小関係によるもの
１＜３＜。。。＜２＜４＜。。。　奇数は全て偶数の前に置く
などなど。

そこで、集合とそこに入れる順序は分けて考える。

これとは直接の関係はありませんが、
集合とそこで考える位相は別物で
同じ集合にいろいろな位相を入れて考えることが出来る。

平面について
２点間の距離はいろいろな定義が可能。
例えば、いつでも　d(x､y)＝０　と決める。などなど、よって
”点の集合である平面”としては同一でも、距離空間としては違ってくる。

集合、順序、位相（距離）、代数演算　などは別々に考えて
必要に応じて組み合わせてゆき、都合に良いものを作ってゆく。

ということだと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あなたの意見とほぼ同じことを考えています。
圏論を基盤とすると、射や関手のように
構造（関係）を保持する写像を考えるべきだが、
ブルバギの旧数学では、
すべての数学対象を集合と述語論理だけで記述するのだから、
数学対象の基盤集合とそれらの間の写像だけを考えるだけでよい。
この考え方では、確かに集合と構造は別に考えざる負えない。

お礼日時：2019/01/29 10:30

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/01/28 20:19

集合は要素の順番が決まっていないものです。

配列は要素の順番が決まったものです。
それだけの違いです。

別に順番が重要とならない場面では、配列を使う必要はありません。
自然数に限らず、すべての固体を固有に識別できる集合であれば、
なんらか順番に並べることができる＝配列という形にもできるのではないでしょうか？

この回答へのお礼

早速、ご回答ありがとうございます。
わたしもあなたの意見にほぼ賛成です。
ただ、私が感じたのは、
自然数とは ≤ 関係を持っていることが重要ではないのか？
集合と言ってしまえば、関係を持たない。
そうすると自然数ではないのではないか？
ということなのではないかな、と思います（あいまい！）。
次は私が考えたことで自信は全くない：
「自然数の集合」とは自然数を参照する記号（０、１，２、・・・）たちの集合を意味する？
私はまだ自分が何を質問しているのかわからないが、
少しだけ開けてきたような気がします。

お礼日時：2019/01/28 21:07