エーレンフェストの定理の証明です

エーレンフェストの定理の

　　　d/dt<x>=<p>/mとd/dt<p>=-<dV(x)/dx>

の二つの式の導出を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2019/02/03 23:47

エーレンフェストの定理

1) 　d<x>/dt = <p>/m
2）　d<p>/dt=-<dV(x)/dx>
ポテンシャルVの下にある質量ｍの粒子Aの状態が、
波動関数φであらわされているものとする。この粒粒子A
の運動量pを測定した場合に得られる『運動量の期待値』
には（2）式が成立する。エーレンフェストの定理。

１） の導出
位置xの期待値は
〈ｘ〉 = ∫φ*xφdx、　　ただし∫φ*φdx = 1 　　（1）
これを時間で微分する
d〈ｘ〉/dt = d/dt*∫φ*xφdx　
=∫(∂φ*/∂t・xφ+φ・x∂φ/∂t)dx　　　　（2）

シュレーディンガー方程式とその複素共役を取ったもので
iℏ∂φ/∂t = Hφ、　　　　　　　　　　　（3）　　　　　　　　　　　　　　　　
-iℏ∂φ*/∂t = Hφ*
ここにHamiltonian Hは、次式で与えられる。
H = -ℏ^2/(2m)* ∂^2/∂x^2 + V　 　（4）

これらを使うと（2）式は
　d〈ｘ〉/dt = ∫｛Hφ*/(-iℏ)*xφ+φ*xHφ/(iℏ)｝dx
=1/(iℏ)・∫｛-Hφ*xφ+φ*xHφ｝dx　　（5）
=1/(-iℏ)∫{(ℏ^2/(2m)* ∂^2/∂x^2 – V) φ*xφ
　　　　　　+φ*(-ℏ^2/(2m)* ∂^2/∂x^2 + V　)xφ｝
　　= iℏ/(2m)・∫｛∂^2φ*/∂x^2・xφ
-φ*x・∂^2φ/∂x^2 ｝ｄｘ　　　　（6）
（以降の中間の計算は次のＨＰを参照
http://eman-physics.net/quantum/expectation.html）

　　　= ℏ/(mi)∫φ*(∂/∂x)φ・dx
= ∫φ*(-iℏ)（∂/∂x）φ・dx/m　　　　　　（7）

積分内は運動量の演算子の定義であるから
https://ja.wikipedia.org/wiki/運動量演算子
d〈ｘ〉/dt = <p>/m

２） の導出
（１） 式、<p> = m d〈ｘ〉/dt、から出発する。

d〈p〉/dt = d/dt∫φ*(-iℏ)(∂/∂x)φ・dx　
　　　　= ∫{∂φ*/∂t・(-iℏ)(∂/∂x)φ
　　　　　　　　+ φ*(-iℏ)(∂/∂x) ∂φ/∂t}dx (2-1)

これに、まず(3)式を代入し、次いでそれにハミルトニアンの
具体式(4)式を代入して整理すると（計算は前期ＨＰを参照)。
　　　　=∫｛(∂^2φ*/∂x^2・xφ ‐φ*x∂^2φ/∂x^2　}dx
　　　　　+∫{Ｖφ*(∂φ/∂x) – φ*∂（Vφ）/∂x}dx (2-2)

最初の項は相殺してゼロに成る。（計算は前期ＨＰを参照。)
従って第二項のみを考える
∫{Ｖφ*(∂φ/∂x) – φ*∂（Vφ）/∂x}dx (2-3)
　　　=∫{Ｖφ*(∂φ/∂x) – φ*∂V /∂x・φ-φ*V(∂φ/∂x) dx　　　
　　　= - ∫φ*∂V /∂x・φdx (2-4)
　　　= - 〈dV/dx〉　　 (2-5)　　　

よって
　d<p>/dt=-<dV(x)/dx>

解釈に付いては、引用ＨＰをよく読んでください。

この回答へのお礼

詳しく教えていただきありがとうございます。

お礼日時：2019/02/04 13:37