
RC、LC回路でのコンデンサの放電について教えてください。
また私は次のように考えているのですが、どこか誤りがあるのでしょうか?
(1)RC直列回路での放電。(RCのみで、電池はありません)
コンデンサでの初期電荷をQとする。
q(t)/C = Ri(t)
微分して
1/C・dq(t)/dt = Rdi(t)/dt
ここで放電を考慮するとdq(t)/dt=-i(t)より
-i(t)/C = Rdi(t)/dt
またq(0)=Qより
Q/C=Ri(0)
よって。。。。
(2)RC直列回路での放電。(RCのみで、電池はありません)
コンデンサでの初期電荷をQとする。
q(t)/C =Ldi(t)/dt
ここで放電を考慮し
dq(t)/dt = -i(t)より
q(t)=-∫i(t)dt
よって
-∫i(t)dt/C = Ldi(t)/dt
ラプラス変換
-( I/s+∫i(t)dt(t=0) )/C = L( sI-i(0) )
ここで
∫i(t)dt(t=0) = Q
i(0)=0
より。。。。
RCのほうはあっていると思うのですが、LCのほうは自信はありません。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
左にコンデンサー右に抵抗もしくはコイルの回路。
初期状態で上に+Q,下に-Qの電荷が蓄えられているイメージで考えてみます。(1)RC 直列回路での放電(あっていると思います)
ちなみに,-i(t)/C = Rdi(t)/dt のあとは,
di(t)/dt + i/RC=0
両辺に e^(t/RC) をかけて,
di(t)/dt・e^(t/RC) + i/RC・e^(t/RC) = 0
左辺は i(t)・e^(t/RC) をtで微分したものなので,
i(t)・e^(t/RC) = A(Aは定数)
よって,
i(t) = Ae^(-t/RC)
t=0,i(0)=Q/RC を代入して,A=Q/RC
∴ i(t) = Q/RC・e^(-t/RC)
(2)LC直列回路での放電(上と同様に解けますよ。)RCは誤植ですね・・
q(t)/C =Ldi(t)/dt
両辺を t で微分して,整理すると
d^2i(t)/dt^2 + (1/LC)・i = 0 …※
2階の微分方程式なので,
D^2+(1/LC)=0 をといて,D=±√(1/LC)
よって,解は
i(t) = A1e^√(1/LC)jt + A2e^-√(1/LC)jt (jは虚数)
オイラー変換にて
i(t) = Acos√(1/LC)t + Bsin√(1/LC)t
t=0 ,i(0)=0 より A=0
i(t) = Bsin√(1/LC)t
t で積分して,q(t) = -B√(1/LC)cos√(1/LC)t
t=0 ,q(0)=Q より B = -Q
∴ i(t) = Qcos√(1/LC)t
こんな感じでしょうか?
No.2
- 回答日時:
すみません。
最後でミスりました。>∴ i(t) = Qcos√(1/LC)t
>こんな感じでしょうか?
ではなく,ここは q(t)ですね。
q(t) = Qcos√(1/LC)t
∴ i(t)=-dq(t)/dt=Q√(1/LC)sin√(1/LC)t
です。申し訳ありません。
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