中２数学の問題で分からない所か有るので教えて下さい。 中２数学のワークを解いていた所、次のような問題

中２数学の問題で分からない所か有るので教えて下さい。


中２数学のワークを解いていた所、次のような問題が出題されました。


【問題】

数字1,2,3,4を1つずつ書いた箱がそれぞれ1箱と、
数字1,2,3,4を1つずつ書いたカードがそれぞれ1枚ある。この4枚のカードをよくきって、4つの箱にカードを1枚ずつ入れる。このとき、箱の数字とカードの数字が全て異なる確率を求めなさい。


という問題です。

中学2年生の基礎として出題されましたが、
この問題、本当に基礎でしょうか。

3
僕が解いた所、答えは　ー
4

となりましたが、間違いでした。


この問題が解ける方が居ましたら、
答えと解き方を書いて頂けると嬉しいです。　


模範解答は、後で補足に画像添付します。

回答宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ちなみに、模範解答は
  
  添付画像の通りです。
  
  しかし、ここに書いてある解説の意味がよくわかりません。
  
  皆さんの解き方を教えて下さい。

  
    補足日時：2019/02/17 11:22

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/17 12:07

これは、手間はかかりますがレベルとしては基礎です。

樹形図でも、画像のような形式でも良いので箱に入れるカードの組み合わせを全て書き出すのが基本です
箱①　箱２　箱３　箱④
１　　２　　３　　４
１　　２　　４　　３
１　　３　　２　　４
１　　３　　４　　２
１　　４　　２　　３
１　　４　　３　　２
２　　１　　３　　４
と言うように書き出すのです。
書き方は1段目のように箱とカードの数をそろえてからスタート
2段目では箱３のカードの数を1つ上げる、残ったカード３が箱4に入る
3段目でも箱３のカードの数を1つ上げるのですが、これ以上あげられないので代わりに箱２のカードの数を1つ上げます。
残りのカード2枚のうち低い数のカードを箱３に入れる、残ったカードを箱4に入れる
4段目では、再び箱３のカードの数を１つあげるのだがカード３は既に使われているので、３はパスして４に上げます
すると箱④は残りのカード２が来ます。
以下この要領で、箱３の数を1つ上げる、
箱３の数を上げることが無理なら箱２のカードを１つ大きい数にする
それも無理なら箱１のカードを1つ大きい数にする。
カードの数を上げたら、カードがまだ入っていない箱には、左から順に残りのカードを数字が低い順に入れる
次の段では箱３のカードを1つ大きい数に上げる
無理なら前に述べたことの繰り返し・・・
と言う手順で上のような表や、樹形図を完成させましょう
すると全部で24通りになります。
このうち箱とカードの数が異なる物を数えれば9通りなので
確率は9/24=3/8　がもとまります

ちなみにイメージを働かせ計算を活用すれば表を全て完成させるまでもなく、表作成の途中から規則性を見抜き24通りを計算で求めることもできます。
その計算の例としては、上の表が完成した段階で、箱１にカード１が入るなら
箱２から４に入るカードは３つで、表を数えればその方法は６通り
箱１に、カード２が入るときも３が入るときも４がはいるときも、箱２~４に入るカードが３つと言う状況は変わらないので、それぞれの場合も６通りずつ　とイメージできるはず！
従って全部で6x4=24と言う計算ができます。

あとはカードと箱の番号が異なる(・・・①）という条件を調べるだけ！
上の表のように箱１にカード１と言うのは、条件に合いませんから数える必要なし
ということで箱１にカード２が入る場合で条件①をクリアしている物を調べ上げます！
上の表を書いた時と同じ要領で　箱１＝カード２　のときの表を完成させ、その中から条件①にあうものを探します！
または箱１=カード２のとき
箱２＝１か３か４
箱３=4か１
箱４＝３か１ですから
この中からもれなく条件①にあう組み合わせを考えるという事でも良いです！
するとそれは模範解答のよう３通りになります
箱1=3、箱１＝カード４　のときも状況は同じはずですから条件に合うものは３通りずつです
従って条件①に合うのは全部で３Ⅹ３=９と言う計算ができます
こうして２４通りと９通りを求めることもできます！

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/18 11:05

中学生でしたね！でも、高校生でも同じだが！

問題の意味を理解すれば、あとは、樹形図でするしかないのでは！
全ては、4！=4・3！=4・6=24通り
先頭が1は x …… 6通り
(2・1・3・4) …… x
(2・1・4・3) …… ◯
(2・3・1・4) …… x
(2・3・4・1) …… ◯
(2・4・1・3) …… ◯
(2・4・3・1) …… x

(3・1・2・4) …… x
(3・1・4・2) …… ◯
(3・2・1・4) …… x
(3・2・4・1) …… x
(3・4・1・2) …… ◯
(3・4・2・1) …… ◯

(4・1・2・3) …… ◯
(4・1・3・2) …… x
(4・2・1・3) …… x
(4・2・3・1) …… x
(4・3・1・2) …… ◯
(4・3・2・1) …… ◯
よって、9/24

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/18 10:42

全体は、4！=24 通り

あとは、誰でも同じで、樹形図でするしかないのでは！高校ならば！
全て書き出して、不適を省けばいい！あるいは、
先頭が、2,3,4で適合するのを回答のように列挙すればいい！
すると回答のように9通りのなるから、9/24

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/17 11:47

この問題のネタは完全順列というやつで、

箱が n 個、カードが n 枚の一般の場合については
漸化式を使って考えるのが通常です。
高校以上の範囲ですね。
ただし、今回のように n が小さい場合には、
解答例にあるように全数列挙で扱うことができます。
当てはまる場合を全て挙げて、その数を数え、
全ての場合の数で割って確率を求める作業は、
中学の確率の範囲だと思います。
写真の解答は、全数 4! の数え方の説明がなんか変
なので、読むと戸惑いますが、
要するに当てはまるカードの入れ方 9 通りを
全て書き出して数えているだけです。