これは部分積分した式を微分してるのでしょうか？

添付の【演習6】問 (1) の回答で理解できない部分があります。

sin(x-t) を加法定理で展開した (1) 式は何の問題もなく理解できます。

しかし、その下の1階微分した式（赤で囲った部分）が何故そうなるのかわかりません。

たぶん、 (1) 式のインテグラルをそれぞれ部分積分してから微分してるんだと思いますが、
それだと計算が合わないような…

というか、f(t)cos(t) を部分積分するには f(t) の微分がわからないとできないですよね？
実際、赤く囲った部分に f'(t) なんて出てきませんし…

f(t) を 0～x まで積分するから、x の関数と見做してるのかな？という気もしますが、
だからどうなるのか？というとよくわからない状態です。

おそらく、私のような初心者には、(1) 式と赤く囲った部分の間の丁寧な説明が必要なのだと思います。

どなたか解説をお願い出来ないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/26 18:55

ただの、積の微分法ですよ。

部分積分は関係しません。
sin の加法定理より f(t)sin(x - t) = f(t)sin(x)cos(t) - f(t)cos(x)sin(t).
これの右辺の sin(x), cos(x) は、t から見て定数なので、
積分の外へ括り出して ∫{f(t)sin(x)cos(t) - f(t)cos(x)sin(t)}dt
= sin(x)∫f(t)cos(t)dt - cos(x)∫f(t)sin(t)dt.

これを微分するときに、項ごとに積の微分法を使って、
(d/dx){sin(x)∫f(t)cos(t)dt} = {(d/dx)sin(x)}∫f(t)cos(t)dt + sin(x)(d/dx)∫f(t)cos(t)dt
= cos(x)∫f(t)cos(t)dt + sin(x)f(x)cos(x),

(d/dx){cos(x)∫f(t)sin(t)dt} = {(d/dx)cos(x)}∫f(t)sin(t)dt + cos(x)(d/dx)∫f(t)sin(t)dt
= -sin(x)∫f(t)sin(t)dt + cos(x)f(x)sin(x).

この回答へのお礼

ご回答ありがとうごいます。
インテグラルの項を１つの項とみて積の微分をするという発想がありませんでした。

というもの以下の部分がいまいちピンと来てないからです。
=================================
(d/dx)∫f(t)cos(t)dt=f(x)cos(x)　※インテグラルは０～x
(d/dx)∫f(t)sin(t)dt=f(x)sin(x)　※インテグラルは０～x
=================================

これは ∫f(t)cos(t)dt を０～x の範囲で積分すると∫f(x)cos(x)dx になり、
(d/dx)∫f(x)cos(x)dx は微分と積分が相殺されて f(x)cos(x)dxになる
というような理解でいいのでしょうか？

∫f(t)cos(t)dt の積分をする際に部分積分しなくていいの？とか
単純に ∫f(t)cos(t)dt を０～x の範囲で積分すると∫f(x)cos(x)dx になるという理解でいいの？
とか、もやもやしちゃうんですよねー。

自分は何を理解してないんでしょうか？

よろしければ、ご教示いただけると幸いです。

お礼日時：2019/02/27 12:58

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/27 13:33

単に、難しく考えすぎているのだと思います。

被積分関数が積の形をしているので、部分積分は
したければすればいいのだけれど、ただ
今回は必要がないということです。

＞これは ∫f(t)cos(t)dt を０～x の範囲で積分すると∫f(x)cos(x)dx になり、
＞(d/dx)∫f(x)cos(x)dx は微分と積分が相殺されて f(x)cos(x)dxになる
＞というような理解でいいのでしょうか？

たぶん、それでいいです。その相殺を「微積分学の基本定理」といいます。
＞f(t)cos(t) を 0～x の範囲で積分すると∫f(x)cos(x)dx になり
と言ったほうが、誤解が少ないでしょうけど。
不定積分 ∫f(x)cos(x)dx と定積分 ∫[a,x]f(t)cos(t)dt は、ほぼ同じもので、
違いは ∫[a,x]f(t)cos(t)dt は積分定数の代わりに a が明示されている
というだけです。

この回答へのお礼

度々ありがとうございます。

自分なりに理解して納得しないと「わかった」と言わない頑固者ですが、
このような遣り取りなどを通じて精進すれば、いつかは理解が深まると信じています。

また機会があればよろしくお願いします。

お礼日時：2019/02/27 21:06