この問題の解き方教えて下さい。

この問題の解き方教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/02/28 21:31

2次関数

f(x)=2x^2+2ax+a^2/2-a
があり,
-2≦x≦0におけるf(x)の最大値をM,
最小値をmとする.ただし,aは定数とする.
(1)
a=1のとき
f(x)
=2x^2+2x+1/2-1
=2x^2+2x-1/2
=2(x+1/2)^2-1/2-1/2
=2(x+1/2)^2-1
≧-1
-2≦-1/2≦0
最小値f(-1/2)=-1だから
∴
m=-1

(2)
0≦a≦4とする.
m=-M
となるとき
f(x)
=2x^2+2ax+a^2/2-a
=2(x+a/2)^2-a
-2≦-a/2≦0
最小値f(-a/2)=-aだから
m=-a
だから
-M=m=-a
M=a
f(0)=a^2/2-a
f(-2)=8-5a+a^2/2
f(0)-f(-2)=4a-8=4(a-2)

a<2の時
a=M=f(-2)=8-5a+a^2/2
a^2/2-6a+8=0
a^2-12a+16=0
(a-6)^2=20
a=6±2√5
a=6-2√5

a>2の時
a=M=f(0)=a^2/2-a
a^2/2-2a=0
a^2-4a=0
a(a-4)=0
a=4
∴
a=6-2√5
または
a=4

(3)
命題「xは実数とする.-2≦x≦0ならばf(x)≧0」が真
f(x)
=2x^2+2ax+a^2/2-a
=2(x+a/2)^2-a

0≦a≦4のとき
-2≦-a/2≦0
最小値f(-a/2)=-aだから
-a≧0
a=0

f(0)=a^2/2-a
f(-2)=8-5a+a^2/2
f(0)-f(-2)=4a-8=4(a-2)

a<0の時
a<2だから
f(-2)>f(0)=a^2/2-a≧0
a^2-2a=a(a-2)>0
a<0

a>4の時
a>2だから
f(0)>f(-2)=8-5a+a^2/2≧0
a^2-10a+16≧0
(a-8)(a-2)≧0
a≧8
∴
a≦0
または
a≧8

この回答へのお礼

ありがとうございます。とても助かりました。

お礼日時：2019/02/28 22:23