No.2
- 回答日時:
三平方の定理から、円錐の底面の半径は
r = √(9^2 - x^2) = √(81 - x^2)
円錐の体積は
V = (1/3)パイr^2 ・h = (1/3)パイ(81 - x^2)x
= (1/3)パイ(81x - x^3)
x に対して V が極値(極大または極小)を持つのは、
dV/dx = 0
となるxのときなので、
dV/dx = (1/3)パイ(81 - 3x^2) = 0
より
81 - 3x^2 = 0
→ x^2 = 27
→ x = 3√3
これが極小か極大か調べるために、二次微分を計算すると
d²V/dx² = (1/3)パイ(-6x)
なので、x = 3√3 で
d²V/dx² < 0
であり、V は x = 3√3 で極大である。
0<x<8 の範囲では
・0<x<3√3 で V は単調増加
・x = 3√3 で V は極大
・3√3<x<8 で V は単調減少
なので、V は x = 3√3 で最大となる。
従って、V を最大にするには x = 3√3 とすればよい。
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