円錐の表面の円と扇形の面でそれぞれ面積分をしようとしたんですが、円上の面積分は式が立てられず、扇形上

円錐の表面の円と扇形の面でそれぞれ面積分をしようとしたんですが、円上の面積分は式が立てられず、扇形上の面積分は∫(0→2)dx∫(0→2)(-2x^2-2y^2(x^2+y^2)^1/2+3(x^2+y^2)^1/2)dyとなり２項目の積分ができずに詰まりました。教えてほしいです

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/10 19:42

Sが囲う領域をVとする。

発散定理より、
I = ∫∫[S] A・dS = ∫∫∫[V](div A)dxdydz.

A = (xz,yz^2,3z) だから
div A = z + z^2 + 3.

円筒座標 (x,y,z) = (r cos t, r sin t, z) で置換すると、
dxdy = rdrdt,
V = {(r,t,z): 0≦r≦|z|, 0≦t＜2π, 0≦z≦2}.

よって、
I = ∫∫∫[0≦r≦|z|,0≦t＜2π,0≦z≦2](z + z^2 + 3)rdrdtdz
= {∫[0≦t＜2π]dt}∫[0≦z≦2]{∫[0≦r≦|z|]rdr}(z + z^2 + 3)dz
= (2π)∫[0≦z≦2]{(1/2)(z^2)}(z + z^2 + 3)dz
= π∫[0≦z≦2](z^3 + z^4 + 3z^2)dz
= π{(1/4)2^4 + (1/5)2^5 + 2^3}
= (95/2)π.

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/10 19:00

D={(x, y)|x^2+y^2≦4} としｔ５え、

∬[D]{(-x^2z-y^2z^2)/√(x^2+y^2)+3z}dxdy
=∬[D]{-x^2+(3-y^2)√(x^2+y^2)}dxdy
=∫[0~2pi]〔∫[0~2]{-(rc)^2+(3-(rs)^2)*r}rdr〕dφ
=(28/5)pi.
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※計算ミスがあるかもしれません。ご自身で確認してください。