定理11についての質問です。定理10と書かれたところまでは理解してるつもりです。有界閉集合FとQのう

定理11についての質問です。定理10と書かれたところまでは理解してるつもりです。有界閉集合FとQのうち、無限の円に覆われている部分をF1,F2,... Q1,Q2,...として絞り、定理10によってある一点P0が確定(表現に自信はないですが)したのですが、このP0と無数の円はどういう関係になっているのでしょうか。

また、定理10と書かれたところ行こうの証明で言われてるのは無数の円に覆われているはずのF,Qの部分は一つの円の中に収まっているので、無数の円が不必要なので仮定が真ではなくなるという意味でしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/01 21:27

Fを包む正方形Qの対角線の長さをaとする

F=F(0)⊂Q=Q(0)
とする

F(1)⊂Q1はQを4等分した正方形だから対角線の長さはa/2
F(2)⊂Q2はQ1を4等分した正方形だから対角線の長さはa/4
…
F(n)⊂Q(n)はQ(n-1)を4等分した正方形だから対角線の長さはa/2^n
…
だから

F(n)の直径はa/2^n以下

P0∈∩_{n=0～∞}F(n)⊂∩_{n=0～∞}Q(n)

{C(λ)}_{λ∈Λ}を無限個の円とすると

P0∈∩_{n=0～∞}F(n)⊂F(0)⊂∪{λ∈Λ}C(λ)
だから
P0は無限個の円の1つC(λ)に含まれる

P0∈C(λ)

C(λ)の中心をO半径をRとすると
|P0-O|<R
R-|P0-O|>0
だから
(R-|P0-O|)/2>r>0
となる実数rがある
a/r<nとなる自然数nがある
a/r<n<2^n
だから
a/2^n<r
だから
F(n)の直径d(F(n))は
d(F(n))≦a/2^n<r<(R-|P0-O|)/2
だから
P∈F(n)に対して
|P-P0|≦d(F(n))≦a/2^n<r<(R-|P0-O|)/2<R-|P0-O|
だから
|P-P0|<R-|P0-O|
だから
|P-P0|+|P0-O|<R
だから
|P-O|≦|P-P0|+|P0-O|<R
だから
|P-O|<R
だから
P∈C(λ)
だから
F(n)⊂C(λ)
∴
F(n)は無限個の円の1つC(λ)に含まれるから

F(n)は無限個の円の中の有限個だけで覆われない事に矛盾する

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。本誌の証明より厳密な証明を与えて下さりありがとうございます。おかげですっかり理解できました。

お礼日時：2019/04/02 05:11