分からないので教えてください。 解答の過程を書いていただけるとありがたいです。 お願いします。

分からないので教えてください。
解答の過程を書いていただけるとありがたいです。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/29 08:56

[1]　f(0) = 1,

[2]　∫[0,x]√{ 1 + f’(x)^2 }dx = e^2x + f(x) - 2.

[2]を微分して、1 + f’(x)^2 = 2e^2x + f’(x).
整理すると f’(x) = 1/2 ± √( 2e^2x - 3/4 ).
x ≧ 0 のため 2e^2x - 3/4 ≠ 0 であり、上式の ± を乗り換える枝は無い。

それぞれの枝を積分して、[1]より
f(x) = 1 + ∫[0,x]{ 1/2 ± √( 2e^2x - 3/4 ) }dx
= 1 + (1/2)x ± ∫[0,x] √( 2e^2x - 3/4 ) dx
= 1 + (1/2)x ± { ∫[1,r]{ 1 - 1/(1 + (4/3)r^2) } dr　　; r = √(2e^2x - 3/4)　
= 1 + (1/2)x ± { (r - 1) - ∫[arctan(2/√3),θ] (√3/2)dθ　　; r = (√3/2)tanθ
= 1 + (1/2)x ± { (r - 1) - (√3/2)(θ - arctan(2/√3)) }
= 1 + (1/2)x ± { √(2e^2x - 3/4) - (√3/2)arctan((2/√3)√(2e^2x - 3/4)) + (√3/2)arctan(2/√3) - 1 }.
上にも書いたように、± に対応した2本の曲線がある。

...ほんまかいな。